Når regnestykket konvergerer pænt

En elev, der har regnet rigtigt, får det rigtige svar. Sådan er kontrakten i gymnasiet, og den holder for det meste. Men der findes beregninger, hvor kontrakten brydes på en måde, der er værd at vise frem: beregningen konvergerer pænt, den giver et lille residual — og resultatet er alligevel forkert.

Piazzis problem

Den 1. januar 1801 fandt Giuseppe Piazzi i Palermo et objekt, der bevægede sig mellem stjernerne. Han fulgte det i 41 døgn, hvorefter det forsvandt ind i solskæret. Astronomerne havde dermed et halvt hundrede positioner af et objekt, der ikke ville dukke op igen før om et år — og ingen brugbar metode til at forudsige hvor.

Den 24-årige Carl Friedrich Gauss løste opgaven i løbet af efteråret. Metoden — tre observerede retninger, en elimination, der ender i et ottendegradspolynomium, og en iteration — gjorde det muligt at genfinde Ceres på nytårsaften 1801, næsten præcis hvor Gauss havde sagt. Det er i grundtræk stadig sådan, man får et førstegæt på en nyopdaget småplanets bane.

En komet i udbrud

220P/McNaught er en ganske almindelig Jupiterfamilie-komet med en omløbstid på 5,5 år. Den passerede perihelium 14. juni 2026 og skulle efter alt at dømme have været usynlig for amatørudstyr, med en forudsagt størrelsesklasse omkring 16. I midten af august gik den i udbrud og steg til omkring 9,5 — godt seks størrelsesklasser, altså en faktor tre hundrede i lysstyrke.

Det gjorde den til et taknemmeligt mål for et Unistellar eVscope2 på 114 mm. Jeg optog den fem gange mellem 14. og 25. august med eksponeringstider fra tre til syv minutter.

Hvad metoden gør

Grundrelationen er enkel nok til tavlen. Kometens heliocentriske stedvektor $\mathbf r$, observatørens heliocentriske stedvektor $\mathbf R$ og den observerede retning som enhedsvektor $\mathbf u$ hænger sammen ved

hvor $\rho$ er den ukendte geocentriske afstand. Vi kender $\mathbf R$ til enhver tid — det er blot Jordens bane — og vi måler $\mathbf u$. Tilbage står $\rho$.

Tre observationer giver ni ligninger og ni ubekendte, men de er ikke uafhængige: alle tre stedvektorer ligger i samme baneplan, så den midterste kan skrives som en linearkombination af de to andre. Koefficienterne udtrykkes ved Lagranges $f$- og $g$-funktioner, der til lavest orden kun afhænger af tidsintervallerne og af $r_2$ selv. Eliminationen fører til

hvor $A$ og $B$ er kendte størrelser fra observationsgeometrien og $\mu = k^2$. Man finder den brugbare rod, beregner de tre stedvektorer, udleder hastigheden, og gentager med eksakte $f$ og $g$ i stedet for rækkeudviklingen, indtil beregningen står stille.

Hvor afstanden gemmer sig

Tre retninger fra en observatør, der selv bevæger sig, fastlægger kun afstanden gennem én ting: den måde, hvorpå den observerede bane afviger fra en storcirkel.

Tegn de tre observationer på himmelkuglen og læg en storcirkel gennem den første og den tredje. Den midterste ligger ikke på den — den ligger et lille stykke ved siden af. Det stykke kaldes krumningspilen, og det er alt, hvad man har. I Gauss' formalisme er den nøjagtig det, determinanten $D_0 = \mathbf u_1\cdot(\mathbf u_2\times\mathbf u_3)$ måler; forsvinder den, bliver polynomiet singulært.

Krumningen af en keglesnitsbane er over korte tidsrum tilnærmelsesvis konstant, så krumningspilen vokser som kvadratet på buelængden, mens måleusikkerheden er den samme uanset hvor længe man venter:

Fordoblet bue giver firedoblet signal. Det er hele historien — og det kan man prøve selv herunder.

Gauss-laboratoriet

Herunder kører den fulde metode i din browser. Siden fremstiller tre kunstige observationer af 220P/McNaught ud fra den rigtige bane, lægger den støj på, du vælger, og kører derefter Gauss' metode på dem — ottendegradspolynomium, rodsøgning, iteration med universelle variable, det hele. Sammenlign den fundne bane (guld) med den sande (hvid).

Tre indstillinger, der er værd at prøve

2 døgn, σ = 40″ — mine tre første nætter. Metoden falder tilbage på Jordens egen bane, $a \approx 1$ AE, og den advarer ikke om noget.
11 døgn, σ = 40″ — hvor jeg endte. Nu kommer der en rigtig kometbane ud, men den halve storakse er stadig langt fra.
11 døgn, σ = 2″ — samme billeder, men pladeløst mod et stjernekatalog i stedet for teleskoppets egne koordinater. Det er den ene ting, der ville have ændret alt.

Mine egne målinger

Fem optagelser, tidspunkterne hentet fra billedernes EXIF-felter (som viser sig at angive integrationens begyndelse — der regnes med midtpunktet):

De to sidste søjler er afvigelsen fra efemeriden. De deler sig i en næsten konstant forskydning på −79″ i rektascension plus en spredning på 40″ omkring den. Ingen af delene stammer fra min måling af kernen i billederne — kometen står under 58″ fra feltcentret i alle fem optagelser — men fra de koordinater, teleskoppets app selv påskriver hvert billede.

Resultatet med tre af de fem

Med de bedst fordelte epoker, 15., 20. og 25. august med fem døgn mellem hver:

Læg mærke til, hvordan resultatet deler sig i to. Baneplanet og orienteringen i det — inklinationen, knudelinjen og periheliets retning — rammer inden for tre grader, og perihelafstanden inden for fire procent. Men den halve storakse er 82 procent for stor.

Det er ikke tilfældigt. Baneplanet er fastlagt af retningerne alene: de tre stedvektorer skal ligge i ét plan, og det plan kan man finde uden at kende hastigheden særlig godt. Den halve storakse følger derimod af vis-viva-relationen,

altså af hastighedens kvadrat — og hastigheden fremkommer som en differens mellem stedvektorer divideret med et kort tidsinterval. Måleusikkerheden bliver forstærket to gange på vejen. Derfor bliver retningen rigtig længe før størrelsen.

Fælden

Her burde historien slutte lykkeligt. Gauss' metode bruger jo kun tre observationer og kaster resten væk; jeg havde fem. Det oplagte næste skridt er mindste kvadraters metode — som Gauss i øvrigt også opfandt undervejs — med stedvektor og hastighed i én epoke som seks ubekendte, ti residualer at minimere og Gauss' løsning som startgæt.

Det gjorde jeg. Fittet konvergerede pænt og endte med et residual på 24,2 buesekunder. Det er bedre end nogen af trepunktsløsningerne. Banen havde $a \approx 1{,}4$ AE.

Til sammenligning giver den sande bane — den, JPL har fra hundredvis af professionelle observationer over flere omløb — et residual på 67,3 buesekunder på mine fem positioner. Mindste kvadraters metode foretrækker altså den forkerte bane, og den har fuldstændig ret i at gøre det: den forkerte bane passer bedre til mine tal.

Forklaringen er den konstante forskydning på −79″. Den er harmløs for en trepunktsbestemmelse — den flytter alle observationer lige meget og ændrer ikke buens krumning; det kan du selv se i laboratoriet ovenfor ved at skrue på systematik-skyderen. Men den er ikke harmløs for et fit. Et fit har frihedsgrader nok til at bøje banen, indtil den forudsiger positioner, der ligger 79″ ved siden af de sande — og så falder residualet. $\chi^2$ protesterer ikke.

Til klasseværelset

Skaleringsargumentet står alene. Man behøver ikke Gauss' metode for at forstå, at signalet vokser som $(\Delta t)^2$, mens støjen står stille. Det er en samtale om størrelsesordener, som kan tages på tyve minutter, og den forudsiger korrekt, hvornår forsøget vil lykkes. Det er sjældent, at et skøn på en serviet er så direkte efterprøveligt.

Fejlforplantningen er konkret. At retningselementerne rammer, mens $a$ og $e$ ikke gør, er et lærebogseksempel på, at det ikke er ligegyldigt, om en størrelse afhænger af data lineært eller kvadratisk. Her kan man se det i tallene i stedet for at læse om det.

Forskellen på systematisk og tilfældig fejl bliver for en gangs skyld ikke abstrakt. Den ene kan man måle sig ud af, den anden kan man ikke.

Og endelig: en beregning kan konvergere pænt og give det forkerte svar. Det er en pointe, der rækker langt ud over kometbaner, og som ikke bliver mindre relevant af, at vores elever i stigende grad får deres tal ud af værktøjer, der aldrig siger, at de er i tvivl.

Efterskrift

Undersøgelsen begyndte som et spørgsmål om buelængde og endte som et spørgsmål om astrometrisk nøjagtighed. Ved elleve døgn er buen ikke længere det bindende krav; det er de påskrevne koordinater.

Løsningen er ligetil og koster ingenting. Den fjerde optagelse gemte jeg som en ubeskåret råeksport ved siden af den annoterede, og den kan pladeløses mod et rigtigt stjernekatalog — ASTAP eller astrometry.net med et Gaia-indeks — hvilket rutinemæssigt giver ét til to buesekunder på et felt som dette. Det er fyrre gange bedre end appens egne tal. Med den præcision er de knap elleve døgn, jeg allerede har, rigeligt. Sæt σ til 2″ i laboratoriet ovenfor og se selv.

Kometen er aftagende, men stadig fremme i den før-daglyse himmel. Jeg fortsætter serien — og næste gang gemmer jeg råfilerne fra første nat.