At modellere Månens bane omkring Jorden
Der findes ingen lukket ligning for Månens bane. Men en langsomt drejende ellipse med en håndfuld forstyrrelsesled kommer overraskende langt – og forklarer, hvorfor himlen gentager sig efter godt 18 år.
Hvorfor ingen simpel ligning?
Jord, Måne og Sol udgør et tre-legeme-problem, og det har ingen generel analytisk løsning. Uden Solen ville Månen løbe i en fast Kepler-ellipse; med Solen bliver ellipsen hevet i, drejet og strakt hele tiden. Newton skrev, at Månens teori var det eneste problem, der gav ham hovedpine.
Problemet var ikke kun akademisk. Royal Greenwich Observatory blev grundlagt i 1675 for at løse længdegradsproblemet til søs, og én af metoderne var månedistancer: Månen bevæger sig ca. en halv grad i timen mellem stjernerne og kan derfor bruges som et ur på himlen. Det kræver tabeller, der forudsiger Månen inden for få bueminutter. Tobias Mayers tabeller fra 1755 nåede den præcision, og fra 1767 udgav Greenwich dem i The Nautical Almanac.
Fire fundamentale vinkler
Hele den moderne beskrivelse bygger på fire vinkler, der vokser næsten lineært med tiden. Med \(T\) i julianske århundreder fra J2000,0 (1. januar 2000 kl. 12 TT):
| Vinkel | Udtryk | Periode |
|---|---|---|
| \(D\), elongation fra Solen | 297,85° + 445 267,11° T | 29,53 d (synodisk måned) |
| \(M\), Solens middelanomali | 357,53° + 35 999,05° T | 365,26 d (anomalistisk år) |
| \(M'\), Månens middelanomali | 134,96° + 477 198,87° T | 27,55 d (anomalistisk måned) |
| \(F\), argument for bredde | 93,27° + 483 202,02° T | 27,21 d (drakonisk måned) |
Dertil kommer Månens middellængde \(L = 218{,}32° + 481\,267{,}88°\,T\), som giver den sideriske måned på 27,32 d. At de fire måneder er forskellige, er i sig selv et udtryk for, at ellipsen ikke står stille.
Den drejende ellipse
Forskellene mellem vinklerne giver de to langsomme drejninger af banen:
Knudelinjen \(\Omega\) – skæringslinjen mellem Månens baneplan og ekliptika – vandrer baglæns én gang rundt på 18,61 år. Perigæet \(\varpi\) vandrer forlæns én gang rundt på 8,85 år. Banehældningen er i middel \(i = 5{,}145°\) og vipper ±0,15° med en periode på 173 døgn, og excentriciteten svinger om middelværdien \(e \approx 0{,}055\).
Positionen på himlen
Ovenpå den drejende ellipse lægges periodiske led. Med de største af dem fås Månens ekliptikale længde \(\lambda\), bredde \(\beta\) og afstand \(r\):
Hvert led har sin egen historie:
| Led i λ | Navn | Periode | Hvad sker der |
|---|---|---|---|
| 6,289° sin M′ | Midtpunktsligningen | 27,55 d | Selve ellipsen: Månen går hurtigst ved perigæum (Kepler, e ≈ 0,055). |
| 1,274° sin(2D − M′) | Evektionen | 31,8 d | Solen strækker ellipsen, når apsidelinjen peger mod Solen, og gør den rundere, når den står vinkelret. Kendt af Ptolemæus. |
| 0,658° sin 2D | Variationen | 14,8 d | Solens tidevandskraft trykker banen flad i retning mod Solen; Månen er foran ved oktanterne. Opdaget af Tycho Brahe. |
| 0,214° sin 2M′ | Midtpunktsligningens 2. led | 13,8 d | Næste orden i e for ellipsebevægelsen. |
| −0,186° sin M | Den årlige ligning | 1 år | Solens forstyrrelse er stærkest i januar, når Jorden er nærmest Solen; så går Månen lidt langsommere. |
| −0,114° sin 2F | Reduktion til ekliptika | 13,6 d | Geometri: længden måles i ekliptika, men Månen bevæger sig i et plan hældende 5°. |
Hvor kommer de 18 år fra?
Bevægelsen er kvasiperiodisk: den er bygget af \(D\), \(M'\) og \(F\) (og det langsomme \(M\)), og de har ikke en fælles periode. Men der findes et bemærkelsesværdigt næsten-sammenfald:
| 223 synodiske måneder | 6585,32 d |
| 242 drakoniske måneder | 6585,36 d |
| 239 anomalistiske måneder | 6585,54 d |
Efter 18 år 11 d 8 t står \(D\), \(F\) og \(M'\) altså næsten som før: samme fase, samme afstand til knuden og næsten samme afstand fra Jorden. Det er Saros-cyklussen, og derfor gentager formørkelserne sig. De overskydende 8 timer betyder, at Jorden har drejet en tredjedel omgang, så den næste formørkelse i serien ses 120° længere mod vest. Efter tre Saros (exeligmos, 54 år 33 d) er man tilbage på næsten samme længdegrad.
Prøv fx at gå til næste formørkelse i modellen og derefter én Saros frem: Solformørkelsen 12. august 2026 fører til 23. august 2044, og den 2. august 2027 til 12. august 2045.
Knudecyklussen på 18,61 år er en anden cyklus. Den bestemmer, hvor højt Månen kan komme. Når den opstigende knude ligger ved forårspunktet, lægges banehældningen til ekliptikas hældning, og Månens deklination svinger mellem ±(23,44° + 5,14°) = ±28,6° i løbet af en måned. Det er den store månestilstand (senest 2024–25). Halvvejs i cyklussen trækkes den fra, og Månen holder sig inden for ±18,3°. I Danmark (ca. 56° N) betyder det, at sommerens fuldmåne ved den store månestilstand kun kommer ca. 5° over horisonten, mens vinterens fuldmåne når over 60°.
Fysikken bag koefficienterne
Solens forstyrrelse styres af forholdet mellem middelbevægelserne,
Til første orden giver forstyrrelsesteorien variationen \(\tfrac{11}{8}m^2 \approx 0{,}44°\) og evektionen \(\tfrac{15}{4}me \approx 0{,}88°\). De rigtige værdier er 0,66° og 1,27° – rækkerne i \(m\) konvergerer elendigt, fordi Solens forstyrrelse slet ikke er lille. Det mest berømte eksempel er perigæets bevægelse: første orden giver \(\dot\varpi = \tfrac34 m^2 n\), en omløbstid på ca. 18 år, altså kun halvdelen af den observerede hastighed. Newton fik netop det halve i Principia, og i 1747 overvejede Clairaut at ændre selve gravitationsloven. I 1749 opdagede han, at andenordensleddene gav resten – og tyngdeloven stod ved magt.
Hvor god er modellen?
Med de cirka 15 led ovenfor rammer man Månen inden for omkring 0,1° – et par gange dens egen radius. Modellen på denne side bruger de 32 største længde- og afstandsled og 17 breddeled fra Jean Meeus' Astronomical Algorithms og rammer inden for få bueminutter; det er nok til at finde alle formørkelser på det rigtige tidspunkt inden for en time.
Til almanakkerne har man brugt langt mere: Ernest W. Browns teori, som afløste de gamle tabeller i 1923, havde omkring 1500 led. Nutidens ELP-teorier fra Bureau des longitudes har mange tusinde led og er tilpasset laserafstandsmålinger til reflektorerne på Månen.
Størrelser og afstande i 3D-modellen er ikke i skala, men alle retninger – Solens, Månens og Jordens rotation – er beregnet med formlerne på denne side.