Termodynamik · Demonstration · LTD-Stirling

Stirling-motoren

En motor der ikke brænder noget. Den lever af forskellen mellem et glas varmt vand og luften omkring det.

TypeLavtemperatur (LTD)

BrændstofIngen

DriftΔT ≈ 15–40 °C

OpfundetRobert Stirling, 1816

Den drives af temperatur — ikke af brændstof

Det her er en lavtemperatur Stirling-motor. Den eneste energikilde er det varme vand i koppen som motoren stilles ovenpå — ingen flamme, ingen brændstof.

Luften lukket inde i kammeret bliver skiftevis opvarmet nedefra og afkølet oppefra. Den udvider sig og trækker sig sammen — og det er den pulsering der driver svinghjulet rundt.

Varm side

~50°C

Kold side

~22°C

Hastighed 120 RPM

II.

Den termodynamiske cyklus

Hver omdrejning gennemgår luften inde i motoren fire faser. Klik på en fase for at se hvad der sker.

III.

Arbejdsdiagram & Carnot

Hver gang motoren snurrer rundt, bevæger luftens tilstand sig én gang rundt i diagrammet herunder. Arealet inden for kurven er det arbejde motoren leverer per cyklus.

Stirling-cyklussen

Cyklussen består af to isotermer (luften er ved konstant temperatur når den udvider sig eller komprimeres) og to isokorer (volumen er konstant mens varmen flyttes mellem zonerne).

1→2
Isoterm ekspansion ved T_varm. Luften absorberer varme og udvider sig — det er her arbejdet leveres.
2→3
Isokor afkøling. Volumen konstant, fordriveren skubber luften op til den kolde zone, trykket falder.
3→4
Isoterm kompression ved T_kold. Luften afgiver varme mens den komprimeres.
4→1
Isokor opvarmning. Volumen konstant, luften flyttes ned til den varme zone, trykket stiger.

Aktuel fase

Isoterm ekspansion

1 → 2

IV.

Teorien bag arbejdet

Hvorfor arealet i P-V diagrammet ER motorens arbejde, og hvor Carnots berømte formel for maksimal virkningsgrad kommer fra.

Arealet er arbejdet

Når kraftstemplet flytter sig en infinitesimal afstand, udfører gassen arbejde mod det. Kraften er trykket gange tværsnitsarealet, og forskydningen gange arealet er præcis volumenændringen. Det infinitesimale arbejde er derfor:

dW = P dV

Over en hel cyklus summeres dette til linjeintegralet rundt om kurven i P-V diagrammet:

W = ∮ P dV

Geometrisk er denne integral nøjagtigt lig arealet inden i kurven. Når cyklussen gennemløbes med uret — som motorer gør — er arealet positivt og motoren afgiver arbejde. Mod uret ville betyde at maskinen optager arbejde, som en kølemaskine eller varmepumpe.

Intuitionen: under ekspansion (V stiger) trykker gassen stemplet ud og udfører positivt arbejde. Under kompression (V falder) presses gassen sammen, og den udfører negativt arbejde. Forskellen mellem de to faser er præcis arealet mellem ekspansionskurven oppe og kompressionskurven nede.

Første hovedsætning over en cyklus

Termodynamikkens første hovedsætning siger at for enhver proces:

dU = dQ − dW

Her er U den indre energi (en tilstandsfunktion), Q den tilførte varme, og W det afgivne arbejde. Da U kun afhænger af tilstanden, vender den tilbage til udgangsværdien efter en hel cyklus:

∮ dU = 0

Det betyder at den samlede tilførte varme over cyklussen præcist dækker det udførte arbejde:

∮ dQ = ∮ dW = W

Splitter vi varmen i tilført ved den varme reservoir (Q_ind) og afgivet til den kolde reservoir (Q_ud), får vi den centrale energibalance:

Q_ind = W + Q_ud

Hver joule varme der tilføres ved den varme side ender enten som mekanisk arbejde eller som spildvarme på den kolde side. Det er energibevarelse — intet andet, intet mindre.

Carnot-grænsen

Virkningsgraden defineres som forholdet mellem nyttigt arbejde og tilført varme:

η = W / Q_ind = (Q_ind − Q_ud) / Q_ind = 1 − Q_ud/Q_ind

For at maksimere η skal forholdet Q_ud/Q_ind være så lille som muligt. Termodynamikkens anden hovedsætning sætter en absolut grænse for hvor lille det kan blive — og for en idealiseret Carnot-cyklus kan vi udregne præcis hvor grænsen ligger.

Under den isoterme ekspansion ved den varme temperatur T_v (leg 1→2 i diagrammet) er den tilførte varme:

Q_ind = nRT_v · ln(V₂/V₁)

Under den isoterme kompression ved den kolde temperatur T_k (leg 3→4) er den afgivne varme:

Q_ud = nRT_k · ln(V₃/V₄)

De to adiabatiske led forbinder hjørnerne af cyklussen. Fra den adiabatiske relation TV^γ−1 = konstant fås både:

T_vV₂^γ−1 = T_kV₃^γ−1 og T_vV₁^γ−1 = T_kV₄^γ−1

Divideres de to relationer giver det den centrale geometriske identitet:

V₂/V₁ = V₃/V₄

Det er nøglen til hele udledningen. Logaritmerne i de to varmeudtryk er identiske og hæver hinanden ud:

Q_ud / Q_ind = T_k / T_v

Indsat i virkningsgradsformlen får vi Carnots berømte resultat:

η_max = 1 − T_k/T_v

Det er den absolutte grænse for enhver varmemotor mellem to temperaturer, uanset konstruktion. En perfekt Stirling-motor med ideal regenerator når lige akkurat denne grænse — alle andre konstruktioner ligger under.

Beregn virkningsgraden for din motor

Skub temperaturerne og se hvor lille en del af varmen der teoretisk kan blive til arbejde — selv ved den ideelle Carnot-grænse.

Varm side T_v 50 °C

Kold side T_k 22 °C

Carnot-virkningsgrad η = 8,7 %

η_max = 1 − 295/323 ≈ 0,087

For hver 100 J varme tilført ved den varme side, kan højst 8,7 J blive til arbejde. Resten må afgives som spildvarme. I praksis ligger en virkelig LTD Stirling-motor langt under denne grænse på grund af friktion, varmetab og ikke-ideal cyklus — typisk 1–2 %.

Motorens dele

Trods det avancerede princip er der overraskende få bevægelige dele — fire, hvis man tæller efter.

1

Svinghjulet

Lagrer rotationsenergien mellem cyklusserne. Uden det ville motoren gå i stå mellem hver puls af varm luft.
2

Kraftstemplet

Det lille glasrør med stemplet ovenpå. Det er her motoren leverer mekanisk arbejde — luftens udvidelse skubber stemplet op.
3

Fordriveren

En sort magnetisk skumdisk der ligger frit i glaskammeret. Den løftes magnetisk mod låget når kraftstemplet kommer tæt nok på, og falder ved tyngdekraft tilbage til den varme bund når magneten flytter sig væk. Ingen mekanisk forbindelse — kun magnetisme og tyngde.
4

Varmekilden

Et krus eller glas med varmt vand som motoren stilles ovenpå. Glasbunden bliver varmet op af vandet, mens låget og glassets øvre del forbliver kølige fra rumluften. Forskellen er det hele.

VI.

Hvorfor virker det?

Den helt centrale indsigt er: fordriveren laver ikke arbejde. Den er løs i kammeret, og luften kan flyde frit forbi den. Dens eneste opgave er at flytte luften mellem den varme zone (i bunden) og den kolde zone (i toppen).

Når luften er nede ved den varme bund, varmer den op og udvider sig. Når den er oppe ved den kolde top, køler den ned og trækker sig sammen. Den udvidelse og sammentrækning er hvad kraftstemplet mærker — og hvad der trækker svinghjulet rundt.

Magneten i stemplet løfter fordriveren — tyngden trækker den ned. Det er hele tricket.

Den smarte detalje i denne motor er hvordan fordriveren styres uden mekanisk forbindelse. Kraftstemplet har en magnet i bunden. Når stemplet trækkes opad af den varme luft, kommer magneten tæt nok på fordriveren til at løfte den helt op mod låget. Luften skubbes ned mod den varme bund og varmer videre op — det forstærker bevægelsen.

Når stemplet derefter falder tilbage, mister magneten sit greb, og fordriveren falder ved tyngdekraft ned til bunden af kammeret. Nu er luften klemt op mod det kølige låg, hvor den afkøles og trækker sig sammen — og trækker stemplet videre ned. Cyklussen er selvopretholdende.

Det er en lukket cyklus — den samme luft bruges igen og igen. Der brændes ingenting. Ingen røg, ingen forurening. Bare temperaturforskel omdannet til bevægelse, præcis som Robert Stirling beskrev det i 1816 — her i en moderne forenklet udgave med kun én forbindelsesstang.

15°C

Min. temperaturforskel

Bevægelige dele

Forbindelsesstang