Kast en sten hen over en frossen sø, og isen svarer med en faldende, næsten elektronisk fløjtetone. Her regnes lyden ud fra isens bøjningsbølger: hver frekvens rejser med sin egen fart, så de høje toner når dig først.
Når stenen rammer, bøjes isen lokalt, og bøjningen løber udad som en bølge. Isen er en tynd plade med bøjningsstivheden
hvor \(E \approx 9\ \text{GPa}\) er Youngs modul, \(h\) tykkelsen og \(\nu \approx 0{,}33\) Poissons forhold. Pladen ligger på vand, som må flyttes med, når isen bøjer. Vandet virker som en ekstra masse pr. areal på \(\rho_w/k\), stor for lange bølger og lille for korte. Sammen med tyngden giver det dispersionsrelationen
Ved meget høje frekvenser holder den tynde pladeteori op med at gælde, fordi bølgelængden nærmer sig istykkelsen. Så kan bølgen ikke blive hurtigere end en overfladebølge (Rayleigh-bølge, \(c_R \approx 1800\ \text{m/s}\) i is). Simulationen tager højde for det ved at lægge et bølgetal \(\omega/c_R\) til i kvadratur. Det er en tilnærmelse til Mindlins pladeteori, men den giver den rigtige grænse.
Energien i en bølge rejser med gruppehastigheden \(v_g = d\omega/dk\). For en fri tynd plade er \(\omega \propto k^2\), så
Frekvensen \(f\) når frem til afstanden \(r\) til tiden \(t = r/v_g(f)\). Da \(v_g \propto \sqrt{f}\), bliver \(f \propto r^2/t^2\): først kommer de høje toner, så glider tonen hurtigt nedad. Det er den karakteristiske „pew“-lyd. Jo længere væk stenen er, desto mere trækkes buen ud i tid. Prøv at flytte dig længere væk med skyderen og hør, hvordan „tick“ bliver til „pew“. Den gule kurve i spektrogrammet er netop \(t = r/v_g(f)\) for det første smut, og den ligger oven på den beregnede lyd.
Lyden er regnet ud ved at lægge alle frekvenser sammen med hver sin faseforsinkelse \(e^{-ik(\omega)r}\) og derefter lave en invers Fourier-transformation. Faldet i tone er altså ikke lagt ind som en kurve; det opstår af sig selv.
For at bølgen i isen kan sende lyd op i luften, skal lydbølgen i luften passe til bølgen i isen langs overfladen. Det lodrette bølgetal i luften er
Hvis bølgen i isen er hurtigere end lyden i luft, er \(k < k_0\), \(k_z\) er reel, og lyden stråler skråt op. Hvis den er langsommere, bliver \(k_z\) imaginær, og trykket falder som \(e^{-\alpha z}\) med højden. Det kaldes en evanescent bølge; den når ikke dit øre i højden \(z = 1{,}6\ \text{m}\). Grænsen er den kritiske frekvens, som for en tynd plade er
For en fri plade er den omvendt proportional med tykkelsen: \(f_c \approx 1800\ \text{Hz}\) for \(h = 1\ \text{cm}\) og \(f_c \approx 180\ \text{Hz}\) for \(h = 10\ \text{cm}\). Vandet under isen gør imidlertid bølgerne langsommere, og det hæver den kritiske frekvens mærkbart, mest for tynd is: med vandet regnet med bliver den \(f_c \approx 3\ \text{kHz}\) for \(h = 1\ \text{cm}\) og \(f_c \approx 300\ \text{Hz}\) for \(h = 10\ \text{cm}\). Den præcise værdi står i panelet. Tynd is synger derfor højt og tydeligt. Under \(f_c\) hører man kun det, som revner, sne, bobler og bredden spreder op i luften. Det styres af skyderen „Revner, sne og bredder“.
Stenen rammer isen med en lodret fart \(v_z\) og hopper igen med en brøkdel \(e\) af den (restitutionskoefficienten). Hoppetiden er \(2v_z/g\), så smuttene kommer tættere og tættere, indtil stenen blot glider. Under glidningen giver små ujævnheder mange svage slag, som hver sender sin egen lille bue af sted.
Kontakttiden ved et slag følger Hertz' kontaktteori, \(\tau \propto m^{2/5} v_z^{-1/5}\). Et kort slag indeholder høje frekvenser; et langt slag (tung sten) mest dybe. Slaget sender også et kort klik direkte gennem luften med lydens fart. Det kommer efter de hurtige bølger i isen, når stenen er langt væk.
Man kunne tro, at Doppler-effekten ændrer tonen, fordi stenen bevæger sig. Men hvert slag varer under et millisekund, og tonen skabes af isen, ikke af stenen. Stenens bevægelse viser sig kun i rytmen: tiden mellem smuttene, som de høres, og i at hvert smut sker i en ny afstand fra dig, så buerne får forskellig længde.
Isen er regnet uendelig stor og ensartet, og der er ingen refleksioner fra bredden. Vandet er regnet uendelig dybt. Dæmpningen i isen er beskrevet med en tabsfaktor, der vokser, når isen er tæt på \(0\ ^\circ\text{C}\). Lydtrykket ved øret er regnet ud fra pladens hastighed under lytteren; retningen af lyden er ikke med. Resultatet er derfor en kvalitativt korrekt lyd med de rigtige tidsforløb og frekvenser, ikke en optagelse fra en bestemt sø.