1. Den Konvektive Bølgeligning
Vi betragter et ensartet rør beklædt med et lydabsorberende materiale. I røret strømmer en gas (f.eks. udstødningsgas) med en konstant middelhastighed $V$. Lydens hastighed i gassen er $c$. Vi definerer Mach-tallet som $M = V/c$.
Lydtrykket $p(x,t)$ i én dimension, forudsat et jævnt flow, styres af den konvektive bølgeligning:
$$ \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t^2} - (1-M^2)\frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + \frac{2M}{c}\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial t} = 0 $$
Krydsleddet $\frac{\partial^2 p}{\partial x \partial t}$ opstår på grund af flowet og komplicerer tilføjelsen af dæmpningsleddet direkte, da løsningerne bliver asymmetriske.
2. Lorentz-Transformationen
For at løse ligningen elegant, kan vi skifte til et referencesystem, der bevæger sig med flowet. Ved at anvende en matematisk form identisk med Lorentz-transformationen fra relativitetsteorien, kan vi eliminere krydsleddet. Vi introducerer "Lorentz-faktoren" for akustik:
$$ \gamma = \frac{1}{\sqrt{1-M^2}} $$
De transformerede koordinater $(x', t')$ defineres som:
$$ x' = \gamma (x - V t) \quad \text{og} \quad t' = \gamma \left(t - \frac{V x}{c^2}\right) $$
Ved indsættelse af disse i den konvektive ligning via kædereglen, forsvinder Mach-afhængigheden fuldstændigt i det nye koordinatsystem. Vi står tilbage med den simple d'Alembert-bølgeligning for mediet i hvile:
$$ \frac{\partial^2 p}{\partial x'^2} - \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2 p}{\partial t'^2} = 0 $$
3. Dæmpning og Invers Transformation
I det transformerende hvile-system $(x', t')$ kan effekten af det absorberende materiale let inkorporeres ved at tillade et komplekst bølgetal $k' = k'_r - i\alpha'_0$, hvor $\alpha'_0$ er den spatielle dæmpningskoefficient uden flow. Løsningen for en plan bølge er proportional med $e^{i(\omega' t' - k' x')}$.
For at finde løsningen i det oprindelige laboratorie-system $(x, t)$, indsætter vi vores inverse transformationer i bølgefasen $\phi$:
$$ \phi = \omega' \gamma \left(t - \frac{V x}{c^2}\right) - k' \gamma (x - V t) $$
Ved at samle de led, der indeholder $x$, kan vi identificere det effektive komplekse bølgetal med flow, $k_{flow}$. Dæmpningen er den imaginære del af dette bølgetal. Efter algebraisk reduktion (og antagelse om primær lydudbredelse $k_r \approx \omega/c$), finder vi at den konvektive dæmpning $\alpha_{flow}$ approksimeres ved:
$$ \alpha_{flow}^{\pm} = \frac{\alpha_0}{1 \pm M} $$
Hvor "$+$" angiver medstrøms (downstream) lydudbredelse, og "$-$" angiver modstrøms (upstream). $\alpha_0$ er dæmpningen uden flow.
Transmission Loss (TL)
Den samlede lyddæmpning, Transmission Loss, over en rørlængde $L$ udregnes herefter i decibel (dB) ved relationen $20 \log_{10}(e) \approx 8.686$:
$$ \text{TL} = 8.686 \cdot \frac{\alpha_0(f)}{1 \pm M} \cdot L \quad \text{[dB]} $$