Geometri

Forestil dig et punkt, et lille bitte punkt. Uanset hvor tæt på det du kommer, eller hvor langt du zoomer ind, bliver det ved med at være et lille bitte punkt.

Når du tegner et punkt på papiret, er det, du faktisk laver, en lille rund prik. Hvis du kigger nærmere på den eller zoomer ind, vil den ligne mere og mere en rund plet på papiret.

Sådan er det ikke med et rigtigt punkt. Det nærmeste, vi kan komme på at se et punkt, er faktisk en stjerne langt ude i rummet. Selvom mange er sole ligesom vores egen Sol, er de så langt væk, at de indtil for nylig stadig lignede et punkt i vores kraftigste teleskoper. Vi kunne nemlig slet ikke se nogen som helst af deres runde form. Og oven i købet var der mange meget lyse streger, linjer, der udstrålede fra det punkt, hvor stjernen var. Selvfølgelig var de udstrålende streger noget, som teleskopet skabte.

Men lad os nu dvæle lidt ved det billede.

Nu kan vi forestille os et punkt, og ud fra det punkt udstråler der mange lysende streger — linjer, faktisk.

Se, nu har vi allerede fat i geometriens mest enkle dele: punktet og linjen.

Men lad os nu tegne dette mønster på papir, idet vi først holder os til den geometri, vi kan have på et fladt stykke papir på vores skrivebord eller køkkenbord.

Hvad så? tænker du måske. Husker du det, du læste, og de streger og linjer, der udstrålede fra en stjerne? De gik i alle retninger fra det samme punkt. Man siger, at de alle mødtes der i punktet.

Hvor mange kan du tegne? Kunne du blive ved og ved med at tegne sådanne lige streger?

Ja, det kunne du faktisk, og du ville aldrig blive færdig.

Men nu bliver alle de mange muligheder pludselig til én. Tegn nu et andet punkt på en af de lige linjer. Hvor mange lige linjer kan nu gå igennem begge punkter, altså fra det ene punkt til det andet? Der er kun én, der kan.

Hvad har du nu opdaget?

Du har nu opdaget, at en linje kan bestemmes ud fra to punkter.

Så nu er vi virkelig kommet videre — fra ét punkt til to punkter og linjen, der forbinder dem.

Hvis jeg havde sagt, at du ikke behøver at bruge lige linjer og din lineal, så kunne du blive ved med at finde nye veje mellem de to punkter. Men hvis vi holder os til lige linjer, så er der kun én — og ved du hvad? Den linje er nødt til at være den korteste vej.

Hvorfor det? Tænk lige over det. Som et hint vil jeg spørge dig: Hvad nu hvis den lige linje ikke var den korteste? Hvad ville det betyde?

Det ville betyde, at der fandtes en kortere rute. Men vent lige — kan det lade sig gøre? Nej. For vi har jo allerede fundet ud af, at der kun er én lige linje fra det ene punkt til det andet. Alle de andre veje mellem de to punkter er bøjede — de er kurver — og af dem er der uendeligt mange. Men de er alle længere end den lige linje. Derfor er den lige linje den korteste.

Lad os lige tage en pause og læne os tilbage.

Hvis vi løftede vores papir op fra skrivebordet og satte det op på en væg, ville disse tre sætninger stadig være sande. De gælder ikke kun i to dimensioner.

OK, vi er nu nået til to punkter og en lige linje, der går igennem dem begge og forbinder dem.

Hvad mere kunne vi tilføje? En ny linje eller et nyt punkt — og hvor?

Lad os tegne et nyt linjestykke med vores lineal og blyant. Måske skulle du starte med et frisk og rent stykke papir. Tegn først to punkter og så en lige linje, der forbinder dem.

Hvor skal jeg lægge den nye linje? Igennem et af punkterne? På tværs af den linje, der allerede er der? Eller ved siden af, så den hverken går igennem et af punkterne eller krydser den linje, der er der i forvejen?

Hvad hvis vi nu gør alle tre ting og så ser, hvad vi får, og hvad det fortæller os?

Jeg håber, at du nu er begyndt at se, hvilken vej det går? Hvad mener du?

Lad os nu tegne en ekstra lige linje igennem et af punkterne. Læg mærke til, hvad der sker: de to linjer danner nu en vinkel. Det er et helt nyt begreb.

Ligesom et linjestykke har en længde, der kan måles i centimeter — kig på din lineal — så har en vinkel en størrelse, der måles i grader.

Hvis man drejede et linjestykke hele vejen rundt om punktet, så det endte, hvor det begyndte, siger vi, at det har drejet 360 grader. Det tal kommer vi tilbage til senere, når vi taler om kalenderen og om at måle tiden.

Så nu har vi defineret, hvad en vinkel er. Den nye linje kunne ligge på tværs, den kunne ligge skråt, eller den kunne være parallel med den første.

Lægger vi linjerne parallelt, mødes de aldrig, uanset hvor langt vi forlænger dem. Men krydser de hinanden, dannes der altid en vinkel.

Lad os nu anbringe endnu en linje. Se, hvad der sker: alle tre linjer krydser hinanden, og inde i det rum, de lukker om, har vi en trekant — endnu en geometrisk del.

En trekant har tre hjørner, og i hvert hjørne sidder der en vinkel. Lad os kalde dem A, B og C.

Du får 180 grader. Hver eneste gang. Lige meget hvordan trekanten ser ud, er de tre vinkler tilsammen altid 180 grader.

Hvorfor mon det altid bliver 180? Prøv et lille trick: klip de tre hjørner af din trekant, og læg dem op ad hinanden med spidserne mod det samme punkt. De danner en lige linje — og en lige linje er jo en halv omdrejning, altså 180 grader.

Et bevis

Klippe-tricket viser det flot. Men i matematik vil vi gerne være helt sikre og bevise, at det passer for enhver trekant. Her er beviset — det bruger en parallel linje.

Se på trekanten med hjørnerne A, B og C. Vinklen A sidder ved hjørne A, vinklen C ved hjørne C, og vinklen B oppe ved B.

Tag nu en kopi af vinklerne A og C, og skub dem op langs siderne, til de mødes med vinkel B oppe ved B. De tre vinkler lægger sig nu pænt ved siden af hinanden.

Læg mærke til det yderste: de to yderste ben danner tilsammen én lang, lige linje igennem B — og den linje er parallel med siden AC.

Hvad mere ser du? De tre vinkler A, B og C går nu fra den ene side af linjen til den anden. Tilsammen fylder de en halv omdrejning rundt om B.

Og en halv omdrejning er det halve af 360 grader — altså 180 grader. Derfor er A + B + C = 180 grader. I enhver trekant, hver eneste gang.

Se, nu har vi bevist noget vigtigt i geometrien. Godt gået!

Opgaver

Lad os prøve det af. Tag papir og blyant — og husk hele tiden, at de tre vinkler i en trekant altid giver 180 grader.

1. Hvor mange forskellige rette linjer kan du tegne gennem ét enkelt punkt? Og hvor mange gennem to punkter?
2. To myrer skal fra punkt A til punkt B. Den ene går i en lige linje, den anden i en bue. Hvem går den korteste vej — og hvorfor?
3. Hvor mange grader drejer en viser, hvis den går en halv omdrejning rundt? Og hvis den går en kvart omdrejning?
4. En vinkel på 90 grader kaldes en ret vinkel. Find tre steder i dit værelse, hvor to linjer mødes i en ret vinkel.
5. I en trekant er to af vinklerne 60 grader og 70 grader. Hvor stor er den tredje vinkel?
6. En trekant har en vinkel på 90 grader og en på 45 grader. Hvor stor er den sidste vinkel? Og hvad slags trekant er det?
7. I en ligesidet trekant er alle tre vinkler lige store. Hvor mange grader er hver vinkel så?
8. I en trekant er den ene vinkel 80 grader, og de to andre er lige store. Hvor store er de hver især?
9. Kan en trekant have to sider, der er parallelle? Forklar hvorfor eller hvorfor ikke.
10. Udfordring: Kan en trekant have to rette vinkler (to vinkler på 90 grader)? Brug det, vi lige har bevist, til at forklare svaret.

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Gennem ét punkt: uendeligt mange. Gennem to punkter: kun én.
2. Den, der går i en lige linje — for en ret linje er den korteste vej mellem to punkter.
3. En halv omdrejning er 180 grader. En kvart omdrejning er 90 grader.
4. Egne svar — for eksempel hjørnet af et bord, en dør, et vindue eller en bog mod en hylde.
5. 180 − 60 − 70 = 50 grader.
6. 180 − 90 − 45 = 45 grader. Det er en retvinklet trekant (den har en ret vinkel) — og samtidig ligebenet, fordi to vinkler er lige store.
7. 180 ÷ 3 = 60 grader i hver vinkel.
8. De to vinkler giver tilsammen 180 − 80 = 100 grader, så hver af dem er 50 grader.
9. Nej. En trekants tre sider mødes parvis i hjørnerne, men parallelle linjer mødes aldrig. Derfor kan ingen af siderne være parallelle.
10. Nej. To rette vinkler er allerede 90 + 90 = 180 grader, og så er der 0 grader tilbage til den tredje vinkel. Men en trekant skal have tre vinkler, der tilsammen giver 180. Derfor er det umuligt.

Inden vi går videre til firkanten, skal vi bruge trekanten til noget rigtig nyttigt. Hør her.

Hvis vi kender alle længder og vinkler på den ene trekant, behøver vi ikke at måle ret meget på den anden for at kende den helt. Kender vi to af dens vinkler, ved vi, at den har samme form — den tredje vinkel følger jo af de 180 grader — og så mangler vi bare én længde for at finde målestoksforholdet. Kender vi i stedet to længder og vinklen imellem dem, kan vi også regne resten ud.

Når vi først har målestoksforholdet, kan vi udregne alle de sider, vi ikke selv kunne nå at måle. Og dét er en fantastisk idé — for nu kan vi måle ting, der er alt for høje til at nå op til.

Hvor høj er træet?

Forestil dig et højt træ. Du kan ikke nå op i toppen med et målebånd. Men træet kaster en skygge på jorden — og den kan du måle.

Så gælder der, at træets højde i forhold til træets skygge er det samme som pindens højde i forhold til pindens skygge. Med andre ord:

Mål de to skygger og pindens højde, sæt tallene ind — og du har træets højde, uden at klatre en eneste meter.

Et regneeksempel

Lad os prøve med en flagstang. En pind på 2 meter kaster en skygge på 3 meter. Samtidig kaster flagstangen en skygge på 12 meter. Hvor høj er flagstangen?

Den samme idé virker på en skorsten, et tårn eller et hvilket som helst træ. Du skal bare bruge en skygge, en pind og lidt geometri.

Opgaver

Husk hele tiden: ligedannede trekanter har samme form, og deres sider er i samme forhold — målestoksforholdet.

1. To ligedannede trekanter: den lille har sider på 3, 4 og 5 cm. Den store er dobbelt så stor. Hvor lange er dens sider?
2. En pind på 1 meter kaster en skygge på 2 meter. Samtidig kaster et træ en skygge på 10 meter. Hvor højt er træet?
3. To trekanter er ligedannede. En side på den lille er 6 cm, og den tilsvarende side på den store er 18 cm. Hvad er målestoksforholdet?
4. En person på 1,5 meter kaster en skygge på 1 meter. På samme tid kaster en skorsten en skygge på 8 meter. Hvor høj er skorstenen?
5. To ligedannede trekanter. Den lille har sider på 4 cm og 6 cm. Den store trekants korteste side er 12 cm. Hvor lang er dens anden side?
6. To ligedannede trekanter har målestoksforhold 3. Den lille trekants sider er 2, 3 og 4 cm. Hvor lange er den stores sider?
7. Udfordring: Du vil måle en flagstang, men der er hverken sol eller skygge. Kan du finde på en anden måde at lave to ligedannede trekanter på?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. 6, 8 og 10 cm (alle ganget med 2).
2. Forholdet er 10 ÷ 2 = 5, så træet er 1 m × 5 = 5 meter højt.
3. 18 ÷ 6 = 3.
4. Forholdet er 8 ÷ 1 = 8, så skorstenen er 1,5 m × 8 = 12 meter høj.
5. Forholdet er 12 ÷ 4 = 3, så den anden side er 6 cm × 3 = 18 cm.
6. 6, 9 og 12 cm (alle ganget med 3).
7. Egne svar — for eksempel: læg et spejl på jorden mellem dig og flagstangen, og gå tilbage, til du ser toppen i spejlet. Så danner dine øjne, spejlet og flagstangen to ligedannede trekanter. Eller hold en pind lodret i strakt arm og brug forholdet mellem pinden og din arm.

Vi bliver lidt ved trekanten, for den gemmer på en af de mest berømte opdagelser i hele matematikken. Den er over 2500 år gammel og bærer navnet efter den græske tænker Pythagoras.

Sætningen handler om en helt særlig slags trekant: den retvinklede. Det er en trekant med én ret vinkel — altså et hjørne på 90 grader, som hjørnet af et stykke papir.

Pythagoras opdagede noget forbløffende: tegner man et kvadrat på hver af de tre sider, så er de to små kvadrater tilsammen lige så store som det store.

Og her er det smukke — han havde slet ikke brug for tal eller bogstavregning for at vise det. Algebraen, som vi kender den i dag, kom først mange hundrede år senere. Pythagoras kunne nøjes med at flytte rundt på nogle kongruente retvinklede trekanter. Kongruente figurer har samme form, samme vinkler og samme størrelse. De kan lægges præcist over hinanden og matche perfekt uden at noget stikker ud eller mangler.

Se på det store kvadrat. Det er kvadratet på c — det kan du se, fordi alle fire sider har længden c. Inde i det ligger fire helt ens trekanter, snurret rundt som en vindmølle, med et lille kvadrat tilovers i midten.

Tag nu de samme fire trekanter og det lille kvadrat, og læg dem om. Så danner de præcis to nye kvadrater: kvadratet på a og kvadratet på b. Vi har ikke fjernet eller tilføjet noget — bare flyttet rundt på brikkerne.

Da brikkerne fylder lige meget begge steder, må kvadratet på c være lige så stort som kvadraterne på a og b tilsammen.

Det er hele beviset — uden et eneste regnestykke. Først mange hundrede år senere skrev man det med bogstaver, sådan som vi gør nu.

Opgaver

Husk: i en retvinklet trekant er a² + b² = c², hvor a og b er de to korte sider og c er den lange (hypotenusen).

1. Hvad hedder den særlige slags trekant, som Pythagoras' sætning handler om?
2. Hvad kalder vi den lange, skrå side i en retvinklet trekant?
3. En retvinklet trekant har kateter på 6 cm og 8 cm. Hvad er a² + b²? Og hvor lang er hypotenusen?
4. Brugte Pythagoras algebra (bogstavregning) til sit bevis? Forklar kort.
5. En retvinklet trekant har kateter på 5 cm og 12 cm. Hvor lang er hypotenusen? (Tip: 25 + 144 = 169, og 169 = 13×13.)
6. Udfordring: En stige står op ad en mur. Foden står 3 meter fra muren, og stigen rører muren 4 meter oppe. Hvor lang er stigen?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Den retvinklede trekant — en trekant med en ret vinkel (90 grader).
2. Hypotenusen.
3. a² + b² = 36 + 64 = 100, og fordi 100 = 10×10, er hypotenusen 10 cm.
4. Nej. Han flyttede rundt på fire ens trekanter og sammenlignede arealer. Algebraen kom først mange hundrede år senere.
5. 25 + 144 = 169 = 13×13, så hypotenusen er 13 cm.
6. Stigen er hypotenusen: 3×3 + 4×4 = 9 + 16 = 25 = 5×5, så stigen er 5 meter lang.

Husker du, at vi hele tiden har lovet hinanden firkanten? Nu er vi der. Tag dit papir frem igen.

Vi har allerede to punkter og en linje. Sæt nu et tredje punkt, så vi får en trekant — og derefter et fjerde punkt. Forbind de fire punkter med fire linjer, så de lukker et rum inde. Nu har du en firkant: fire hjørner og fire sider.

En firkant er altså bare det næste skridt efter trekanten. Hvor trekanten havde tre hjørner, har firkanten fire.

Hvor mange grader nu?

Vi fandt ud af, at de tre vinkler i en trekant altid giver 180 grader. Men hvad med de fire vinkler i en firkant? Prøv at gætte, før du læser videre.

Her er et smukt trick. Tegn en linje fra det ene hjørne tværs over til det modsatte hjørne. Sådan en linje kalder vi en diagonal. Hvad ser du nu?

Diagonalen deler firkanten i to trekanter! Og vi ved jo allerede, at hver trekant har vinkler, der tilsammen giver 180 grader.

To trekanter, hver med 180 grader, bliver tilsammen 180 + 180 = 360 grader. Så de fire vinkler i en firkant giver altid 360 grader.

Læg mærke til tallet: 360 grader er præcis en hel omdrejning — det samme tal, vi mødte, da vi drejede en linje hele vejen rundt om et punkt. Nu dukker det op igen.

Firkanter i mange slags

Ikke alle firkanter ser ens ud. Der findes en hel familie af dem, og nogle har fået deres egne navne.

Kvadratet har fire lige lange sider og fire rette vinkler — det er det mest regelmæssige af dem alle. Rektanglet har også fire rette vinkler, men to af siderne er længere end de andre.

Parallelogrammet er skævt, men dets modstående sider er parallelle to og to — kan du huske de parallelle linjer fra før? Romben er et parallelogram, hvor alle fire sider er lige lange. Og trapezet har bare ét par parallelle sider.

Men uanset hvilken slags firkant du vælger, giver de fire vinkler altid 360 grader. Prøv selv med kvadratet: fire rette vinkler, 90 + 90 + 90 + 90 = 360. Det passer!

Opgaver

Husk: de fire vinkler i en firkant giver altid 360 grader — og en firkant kan altid deles i to trekanter med en diagonal.

1. Hvor mange hjørner og hvor mange sider har en firkant?
2. I en firkant er tre af vinklerne 90, 90 og 100 grader. Hvor stor er den fjerde vinkel?
3. Hvor mange grader er hver vinkel i et kvadrat? Og hvad bliver de fire tilsammen?
4. Du tegner en diagonal i en firkant. Hvor mange trekanter deler den firkanten i?
5. En firkant har vinklerne 80, 100 og 80 grader. Hvad er den fjerde vinkel?
6. Hvilken slags firkant har fire lige lange sider og fire rette vinkler? Og hvilken har kun ét par parallelle sider?
7. Udfordring: En femkant (fem hjørner) kan deles i trekanter med diagonaler fra ét hjørne. Hvor mange trekanter bliver det, og hvor mange grader giver de fem vinkler tilsammen?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Fire hjørner og fire sider.
2. 360 − 90 − 90 − 100 = 80 grader.
3. Hver vinkel er 90 grader, og tilsammen 4 × 90 = 360 grader.
4. I to trekanter.
5. 360 − 80 − 100 − 80 = 100 grader.
6. Et kvadrat har fire lige lange sider og fire rette vinkler. En firkant med kun ét par parallelle sider er et trapez.
7. Diagonalerne fra ét hjørne deler femkanten i 3 trekanter, så de fem vinkler giver tilsammen 3 × 180 = 540 grader.

Vi sluttede sidste afsnit med et spørgsmål: hvad sker der, hvis vi bliver ved med at tilføje hjørner til en figur?

Lad os prøve. En trekant har tre hjørner, en firkant fire. Tegner vi en femkant, en sekskant, en tikant … bliver kanterne kortere og kortere, og figuren bliver mere og mere rund. Til sidst, når der er uendeligt mange bittesmå hjørner, kan vi slet ikke se dem mere. Så har vi en cirkel.

Sådan hænger det hele sammen: cirklen er på en måde en mangekant med uendeligt mange sider — ligesom det allerførste punkt, vi startede med, havde uendeligt mange linjer.

Cirklens dele

Afstanden fra centrum ud til cirklen kaldes radius. Trækker vi en linje hele vejen igennem centrum, fra den ene side til den anden, får vi diameteren — og den er altid dobbelt så lang som radius. Selve den runde kurve hele vejen rundt kaldes periferien eller omkredsen.

Hele vejen rundt

Kan du huske, at en hel omdrejning var 360 grader? Det passer også på cirklen. Går du hele vejen rundt langs periferien og er tilbage, hvor du startede, har du været 360 grader rundt.

Halvvejen rundt er 180 grader, en kvart vej er 90 grader — præcis som da vi drejede en linje om et punkt. Cirklen og vinklen er to sider af samme sag.

Hvor langt er der rundt? Tallet π

Her kommer noget af det smukkeste i hele matematikken. Tag en cirkel og rul den ud i en lige linje. Hvor lang bliver den?

Svaret er altid det samme: omkredsen er lidt over tre gange så lang som diameteren. Helt præcist er den 3,14 gange så lang — og det tal har fået sit eget navn: det græske bogstav π, som udtales pi.

Så hvis du kender diameteren, kan du altid finde omkredsen: omkreds = π × diameter. Det mærkelige og dejlige er, at det gælder for hver eneste cirkel i hele verden, stor som lille.

Der findes også en regel for arealet inde i cirklen — areal = π × radius × radius — men det er en historie for en anden dag.

Cirklen i historien

Cirklen har også sat sine spor i historien — på nogle helt uventede måder.

Der findes en berømt fortælling om den italienske maler Giotto. Pavens udsending kom for at finde ud af, om Giotto var dygtig nok til en stor opgave, og bad om en prøve på hans kunnen. Giotto dyppede penslen, satte den anden hånd i siden og malede — i ét eneste stræk og helt på fri hånd — en fuldkommen cirkel. Udsendingen blev målløs. (Historien blev nedskrevet mange år senere, så den er måske lige lovlig god til at være helt sand. Men den fortæller noget om, hvor svært og hvor smukt et perfekt rundt penselstrøg i virkeligheden er.)

Kong Arthurs runde bord er også cirklens fortjeneste. Et rundt bord har hverken en fornem forende eller en ringe bagende, så ingen ridder kom til at sidde finere end de andre — alle var lige. Cirklens fuldkomne symmetri blev på den måde til et billede på lighed mellem mennesker.

Og så en tankevækker. Inkaerne i Sydamerika byggede fantastiske veje og mægtige stenmure, men de opfandt aldrig hjulet til at køre på — og heller ikke buen i arkitekturen, den ægte stenbue. To af de mest geniale runde idéer i hele historien, og en stor og dygtig kultur klarede sig helt uden dem. Måske fordi deres bjerge var så stejle, at hjul ikke nyttede meget, og fordi deres mure stod stærkt også uden buer.

Opgaver

Husk: diameteren er dobbelt så lang som radius, en hel tur rundt er 360 grader, og omkreds = π × diameter (med π ≈ 3,14).

1. En cirkel har en radius på 5 cm. Hvor lang er diameteren?
2. Hvor mange grader er der hele vejen rundt om en cirkel? Og halvvejen rundt?
3. En cirkel har en diameter på 10 cm. Hvor lang er omkredsen? (brug π ≈ 3,14)
4. Hvad kalder vi afstanden fra centrum ud til cirklen?
5. En tallerken har en diameter på 20 cm. Hvor langt er der rundt langs kanten? (π ≈ 3,14)
6. Hvorfor kan man sige, at en cirkel ligner en mangekant med rigtig mange hjørner?
7. Udfordring: En cirkel har en radius på 3 cm. Find først diameteren, og brug så π til at finde omkredsen.

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Diameteren er 2 × 5 = 10 cm.
2. Hele vejen rundt er 360 grader, og halvvejen rundt er 180 grader.
3. Omkreds = 3,14 × 10 = 31,4 cm.
4. Det kalder vi radius.
5. Omkreds = 3,14 × 20 = 62,8 cm.
6. Fordi figuren bliver mere og mere rund, jo flere hjørner den får. En cirkel er som en mangekant med uendeligt mange bittesmå sider.
7. Diameteren er 2 × 3 = 6 cm, og omkredsen er 3,14 × 6 = 18,84 cm.

Men cirklen kan mere endnu. Tager vi en ganske særlig cirkel — én med radius præcis 1 — åbner den døren til noget af det mest nyttige i hele matematikken: at regne på trekanter ud fra deres vinkler. Lad os se på den.

Husk cirklen fra før. Nu skal vi bruge en helt særlig én: en cirkel med radius præcis 1. Den kalder vi enhedscirklen — og den er en af de mest nyttige tegninger i hele matematikken.

Tegn enhedscirklen med centrum dér, hvor en vandret og en lodret akse krydser hinanden. Sæt et punkt P ude på cirklen, og træk en radius ud til det. Radius danner en vinkel med den vandrette akse — den vinkel kalder vi v.

Cosinus og sinus

Lad os se, hvad det betyder. Når vinklen v er lille, ligger P næsten helt ude til højre: så er cos v stor (tæt på 1), og sin v lille (tæt på 0). Når v vokser, og P kravler opad langs cirklen, bliver sin v større og cos v mindre. Sinus og cosinus fortæller altså, hvor på cirklen punktet befinder sig.

Tangens

Der hører en tredje størrelse med. Forlænger vi radius som en lige streg, til den rammer en lodret linje, der lige rører cirklen ude ved x = 1, så aflæser vi tangens til v — skrevet tan v.

Jo stejlere radius står, jo større bliver tan v. Står radius helt vandret (v = 0), er tan v = 0. Rejser radius sig op mod lodret, vokser tan v meget hurtigt.

Fra cirkel til trekant

Se nu rigtig godt på enhedscirklen. Inde i den gemmer der sig en retvinklet trekant! Den har den vandrette side cos v, den lodrette side sin v, og radius som hypotenuse — og radius er jo netop 1.

Her kommer det smukke, og det bygger på noget, vi allerede kender: ligedannede trekanter. Gør vi enhedscirklens lille trekant dobbelt så stor, bliver alle siderne dobbelt så lange — men vinklerne er de samme. Og fordi vinklen v ikke ændrer sig, er forholdet mellem siderne præcis det samme.

Det betyder noget vigtigt: kender du vinklen og bare én side i en retvinklet trekant, kan du finde de andre. Det er præcis det, landmålere, tømrere og astronomer bruger hele tiden.

Et regneeksempel

En stige står op ad en mur. Stigen er 4 meter lang — det er hypotenusen — og den danner en vinkel på 60° med jorden. Hvor højt op ad muren når stigen?

Vil vi i stedet vide, hvor langt stigens fod står fra muren, bruger vi cosinus: cos 60° = afstand ÷ 4, og cos 60° = 0,5, så afstanden er 0,5 × 4 = 2 meter.

Opgaver

Husk: på enhedscirklen er P = (cos v, sin v). I en retvinklet trekant er sin v = modstående ÷ hypotenuse, cos v = hosliggende ÷ hypotenuse, og tan v = modstående ÷ hosliggende.

1. Hvad er radius i enhedscirklen?
2. Et punkt på enhedscirklen har koordinaterne (cos v, sin v). Hvad er punktets vandrette afstand fra centrum lig med?
3. Forklar med dine egne ord, hvad den hosliggende, den modstående og hypotenusen er i en retvinklet trekant med vinklen v.
4. En retvinklet trekant har vinklen v, en modstående side på 3 og en hypotenuse på 5. Hvad er sin v?
5. Skriv tan v ved hjælp af sin v og cos v.
6. En stige på 6 meter står op ad en mur og danner en vinkel på 60° med jorden. Hvor højt op når den? (sin 60° ≈ 0,87)
7. Udfordring: I en retvinklet trekant er den hosliggende side til v lig 4, og den modstående er 3. Find tan v — og find hypotenusen med Pythagoras.

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Radius er 1.
2. Den er lig cos v.
3. Hypotenusen er den lange skrå side. Den modstående side ligger lige over for vinklen v. Den hosliggende side ligger ved siden af v — mellem v og den rette vinkel.
4. sin v = modstående ÷ hypotenuse = 3 ÷ 5 = 0,6.
5. tan v = sin v ÷ cos v.
6. Højden = sin 60° × 6 ≈ 0,87 × 6 ≈ 5,2 meter.
7. tan v = modstående ÷ hosliggende = 3 ÷ 4 = 0,75. Hypotenusen: 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5², så hypotenusen er 5 — det er igen 3-4-5-trekanten!

Cirklen har givet os meget: omkredsen, tallet π — og nu sinus, cosinus og tangens, der åbner hele trekantens verden. Men cirklen gemmer på én ting mere.

Cirklen var noget særligt, men den har en hel familie af slægtninge. Du møder dem, hver gang du skærer en kegle over på forskellige måder — derfor kalder man dem keglesnit.

Forestil dig en kegle, som spidsen på et kræmmerhus eller et juletræ. Skærer du lige tværs over, får du en cirkel. Men vipper du kniven lidt, sker der noget nyt.

Snittene har fået navne: cirkel, ellipse, parabel og hyperbel. Cirklen kender vi allerede — nu tager vi de tre andre.

Ellipsen

Hvorfor virker det? Fordi snoren har samme længde hele vejen rundt. Så uanset hvor blyanten er, er afstanden fra det ene brændpunkt, hen til blyanten og tilbage til det andet brændpunkt, altid den samme. Det er selve definitionen på en ellipse.

Planeterne — og vores egen Jord — løber i øvrigt rundt om Solen i ellipser, med Solen i det ene brændpunkt. Det opdagede Johannes Kepler for over 400 år siden.

Parablen

Vipper du kniven, så snittet bliver parallelt med keglens side, lukker kurven sig ikke. Den fortsætter bare ud i det uendelige og åbner sig som en skål. Det er en parabel.

Kaster du en bold, følger den en parabel på vej op og ned igen. Det samme gør en vandstråle fra en slange. Og fordi en parabel samler alt lys og alle signaler i sit brændpunkt, har en parabolantenne netop denne form.

Hyperblen

Skærer du helt stejlt — så stejlt, at kniven rammer begge halvdele af en dobbeltkegle — får du to adskilte, spejlvendte kurver. Det er en hyperbel.

Hyperbler dukker også op i virkeligheden — for eksempel i den elegante, indsnævrede form på et stort køletårn.

De tre former omkring os

Når du først ved, hvad du skal kigge efter, ser du keglesnittene overalt.

En ellipse i en planets bane, en parabel i et boldkast eller en vandstråle, en hyperbel i et køletårn. Og det hele begyndte med en kegle og en kniv.

Opgaver

Husk: ellipse — summen af afstandene til to brændpunkter er den samme; parabel — lige langt til brændpunkt og ledelinje; hyperbel — forskellen mellem afstandene er den samme.

1. Hvilke fire former kan man få ved at skære i en kegle?
2. Hvor mange brændpunkter har en ellipse? Og en parabel?
3. Du tegner en ellipse med en snor og to tegnestifter. Hvad sker der med formen, hvis du flytter de to tegnestifter længere fra hinanden — med samme snor?
4. Hvilken slags bane følger planeterne rundt om Solen — og hvad sidder i det ene brændpunkt?
5. En bold bliver kastet op i luften og falder ned igen. Hvilket keglesnit følger den?
6. Hvad er den vigtigste forskel på, hvordan man definerer en ellipse og en hyperbel ud fra to brændpunkter?
7. Udfordring: Hvis du trykker en ellipses to brændpunkter helt sammen til ét punkt — med samme snor — hvilken form får du så?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Cirkel, ellipse, parabel og hyperbel.
2. En ellipse har to brændpunkter; en parabel har ét.
3. Ellipsen bliver mere flad og aflang — jo længere fra hinanden, jo fladere bliver den.
4. Planeterne følger ellipser, med Solen i det ene brændpunkt.
5. En parabel.
6. Ved en ellipse er det summen af de to afstande, der er den samme. Ved en hyperbel er det forskellen mellem dem.
7. Du får en cirkel — en cirkel er en ellipse, hvor de to brændpunkter er smeltet sammen til ét centrum.

Men geometrien har ét sted mere, den vil føre os hen — helt tilbage til det, der gav den sit navn for over to tusind år siden.

Allersidst skal vi se, hvor selve ordet geometri kommer fra — og hvorfor det måske er det smukkeste navn i hele matematikken. Ordet er græsk. 'Geo' betyder Jorden, og 'metron' betyder at måle. Geometri betyder altså helt enkelt: at måle Jorden.

Og det er præcis, hvad mennesker har brugt den til. Med intet andet end vinkler, skygger og god fornuft har de målt selve Jorden — længe før nogen kunne rejse hele vejen rundt om den.

Eratosthenes måler Jorden

For over to tusind år siden boede der i Egypten en mand ved navn Eratosthenes. Han havde hørt om noget mærkeligt: i byen Syene kunne man midt på den længste sommerdag se Solen spejle sig helt nede i bunden af en dyb brønd. Solen stod altså lige i zenit — lige over hovedet — og en pind dér ville slet ikke kaste nogen skygge.

Samme dag og på samme tidspunkt satte Eratosthenes en pind lodret op i Alexandria, et godt stykke længere mod nord. Og dér kastede pinden en tydelig skygge. Hvorfor mon? Fordi Jorden er krum! Solens stråler kommer næsten helt parallelt, men de to byer vender forskelligt mod Solen — ligesom to pinde på en stor kugle.

Nu kom det smarte. Eratosthenes målte, hvor stor vinklen A på skyggen i Alexandria var. Den var omkring 7 grader. Og her er det smukke: den vinkel er præcis den samme som vinklen mellem de to byer set helt inde fra Jordens centrum. (Kan du huske vekselvinklerne fra kapitlet om trekanter? Det er dem igen.)

Hans svar lå utrolig tæt på det, vi i dag ved er rigtigt: cirka 40.000 kilometer hele vejen rundt om Jorden. Tænk engang — hele klodens omkreds, fundet med en pind og en skygge.

De vidste, at Jorden er rund

Mange tror, at folk i gamle dage gik og troede, at Jorden var flad. Men de lærde grækere vidste udmærket, at den er en kugle — og de havde gode grunde til det.

Ved en måneformørkelse glider Jorden ind mellem Solen og Månen, så Jordens egen skygge falder hen over Månen. Den skygge har altid en buet kant — en cirkelbue. Og kun én eneste form kaster altid en rund skygge, lige meget hvordan den vender: en kugle. En tallerken ville ind imellem kaste en flad, aflang skygge — men det sker aldrig. Altså må Jorden være rund.

Og der var mere. Når et skib sejler væk fra os ud over havet, forsvinder det ikke bare ved at blive mindre og mindre, til det bliver en lille prik. Det synker forneden først: skroget forsvinder ned under horisonten, mens masten stadig kan ses foroven. Det kan kun lade sig gøre, hvis havets overflade buer sig væk. På en flad jord ville skibet bare skrumpe.

Solur — tiden i en skygge

Skygger kan også fortælle os, hvad klokken er. Et solur er måske det allerældste måleinstrument, vi har — og det er ren geometri.

En skrå stilk — den hedder en gnomon — kaster en skygge ned på en skive. Når Solen vandrer hen over himlen i løbet af dagen, vandrer skyggen med, og man aflæser tiden af, hvilken vej skyggen peger.

Det fine trick er, at gnomonen skal hælde præcis lige så meget som stedets breddegrad. Så peger den nemlig stik mod himlens pol — det punkt, som hele stjernehimlen ser ud til at dreje rundt om — og så viser skyggen rigtigt hele året rundt. Geometri og himmel i ét lille instrument.

Skyggernes plads i videnskaben

Når man tænker over det, har skygger spillet en forbløffende stor rolle i, hvordan vi har lært verden at kende.

En skygge fra en pind målte hele Jordens størrelse. Jordens skygge på Månen viste, at den er en kugle. Og ved en solformørkelse er det Månens skygge, der suser hen over Jorden og kaster os ind i mørke midt om dagen — netop da har astronomer kunnet måle ting ved Solen, de ellers aldrig kunne få øje på.

Og allermærkeligst af det hele: selv lyset har sin helt egen slags skygge. Sender man lys gennem to tynde sprækker ved siden af hinanden, skulle man tro, der kom to lyse striber ud på den anden side. Men nej — der kommer mange. Et helt mønster af lyse og mørke striber dukker op.

Det mønster afslører noget dybt. Lyset opfører sig nemlig som bølger på vand: hvor to bølgetoppe mødes, bliver det ekstra lyst, og hvor en top møder en bølgedal, slukker de hinanden, og det bliver mørkt. Den lille leg med lys og skygge er et af de vigtigste forsøg i hele fysikken — og det begyndte med at se rigtig nøje på, hvordan lys og skygge opfører sig.

Opgaver

Tænk selv — om at måle verden:

1. Hvad betyder ordet 'geometri', når man oversætter det fra græsk?
2. Hvorfor kastede pinden i Alexandria en skygge, mens en pind i Syene slet ingen skygge kastede samme dag?
3. Nævn to forskellige ting, der viser, at Jorden er rund.
4. Hvorfor skal en gnomon på et solur hælde lige så meget som stedets breddegrad?
5. Hvad fortæller det mærkelige stribemønster fra de to sprækker os om lyset?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. 'Geo' betyder Jorden, og 'metron' betyder at måle — altså 'at måle Jorden'.
2. Fordi Jorden er krum. De to byer vender forskelligt mod Solen, så Solen stod lige over Syene (ingen skygge), mens den stod skråt over Alexandria (skygge).
3. For eksempel: Jordens runde skygge på Månen ved en måneformørkelse, og at skibe forsvinder forneden først, når de sejler bort over horisonten.
4. Så peger gnomonen mod himlens pol, som stjernehimlen drejer rundt om, og skyggen viser tiden rigtigt hele året.
5. At lyset opfører sig som bølger, der kan lægge sig sammen til lyse striber eller udslette hinanden til mørke striber.

Se nu, hvor langt vi er nået. Vi startede med ét eneste lille punkt. Derfra voksede en linje, en vinkel, en trekant, en firkant, en cirkel, sinus og cosinus, hele familien af keglesnit — og til allersidst Jorden selv, målt med en skygge. Hele vejen har de samme enkle idéer fulgt os trofast: punkter, linjer, afstande og vinkler. Det smukkeste af det hele er, at du nu selv kan tegne det, måle det og forstå hvorfor. Geometri betyder at måle Jorden — men i virkeligheden er det en helt egen måde at se hele verden på. Og nu kan du se den. Godt gået — og rigtig god fornøjelse med at opdage endnu mere.

Vi har mødt den rette linje, trekanten, cirklen og keglesnittene på papiret. Men de samme kurver findes også ude i den store verden — de bærer broer hen over floder, og de løfter kupler op mod himlen. Lad os slutte hæftet af med en lille rundtur og se, hvor de dukker op, der hvor man mindst venter det.

Buen — halvcirklen der bærer sin egen vægt

En af de ældste måder at bygge en åbning i en mur på er buen. Romerne byggede den som en halvcirkel: en række kileformede sten, der presser på hinanden hele vejen rundt, ned mod to solide piller. Ingen sten kan falde ud, for den er klemt fast af sine naboer — jo mere vægt broen bærer, jo hårdere presses stenene sammen.

Den slags bue kan holde i tusinder af år — mange romerske broer og akvædukter står stadig, mere end 2000 år efter de blev bygget. Men halvcirklen er ikke den eneste form, en bue kan have. Middelalderens bygmestre opdagede, at en spidsere bue — spidsbuen, som du ser i mange gotiske katedraler — kunne bære endnu mere og lade kirken rejse sig endnu højere mod himlen.

Kædekurven — hængebroens hemmelighed

Ingeniører har brugt kædekurven i tusindvis af år, længe før nogen kunne regne på den — de kunne bare se, at formen holdt sig selv oppe. En hængende kæde er nemlig i fuldkommen ligevægt: hvert lille stykke af den trækkes kun langs kæden selv, aldrig på tværs. Vender du kurven på hovedet, får du en bue, der bærer sin egen vægt helt uden at bøje eller knække. Det er hemmeligheden bag mange af verdens stærkeste buer og hvælvinger.

I en hængebro er det ikke en kæde, men et tykt stålkabel, der hænger mellem to høje pyloner. Fra kablet hænger lodrette bæretråde ned til vejbanen, og de fører bilernes og togenes vægt op til kablet. Fordi vejbanen fordeler vægten jævnt langs kablets vandrette udstrækning — og ikke langs kablets egen længde — ligger hovedkablets kurve faktisk lidt tættere på en ren parabel end på en kædekurve. Men set med det blotte øje er de to kurver næsten til at forveksle.

Kuplen — en bue drejet hele vejen rundt

Husker du, hvordan cirklen opstod, da vi lod en mangekant få flere og flere hjørner? Kuplen bygger på en lignende idé — bare i tre dimensioner. Tag en halvcirkelbue, som den vi lige så i en bro, og drej den hele vejen rundt, 360 grader, om en lodret akse gennem dens midtpunkt. Så får du en kuppel.

Ligesom halvcirkelbuen presser kuplens sten eller mursten sig sammen mod hinanden, hele vejen rundt i alle retninger. Det gør kuplen utrolig stærk — den kan dække et kæmpe rum uden en eneste søjle i midten.

Løgkuplen — når kurven buler ud

Ikke alle kupler er halvkugler. Rejser du til Rusland, Indien eller Mellemøsten, møder du løgkupler: kupler, der buler ud bredere end en halvkugle, lige før de smalner ind til en spids top — nøjagtig som formen på et løg. Kurven er hverken en cirkel eller en ellipse, men en blødt bøjet kurve, der først svinger udad og så indad. Man kalder den en ogee-kurve.

Løgkuplen har både en praktisk og en æstetisk fordel: den brede bule leder regn og sne hurtigt væk fra kuplens overflade, samtidig med at den spidse top peger dristigt op mod himlen.

Fra kæde til telt

Nogle af nutidens store tage bruger den samme idé som den hængende kæde — bare vendt om og strammet i stedet for at hænge løst. The O2 i London holdes oppe af tolv høje master og et net af stålwirer, der spænder en kæmpe dug ud imellem dem. Duget hænger i bløde kurver mellem masterne, ligesom en snor mellem to fingre — den samme geometri, som holder en hængebro oppe, bruges her til at bygge et tag.

Flere kupler rundt om i verden

Når du først begynder at kigge efter dem, dukker cirkelbuer og kupler op overalt, du kommer hen.

Opgaver

Husk: en kædekurve er formen af en frit hængende kæde eller snor, en kuppel er en cirkelbue drejet 360° om en lodret akse, og en løgkuppel buler ud bredere end en halvkugle, før den smalner ind til en spids.

1. Hvorfor kan en halvcirkelformet stenbue bære sin egen vægt uden mørtel mellem stenene?
2. Hvad er en kædekurve, og hvordan kan du selv lave en?
3. En hængebros hovedkabel ligner både en kædekurve og en parabel. Hvad er forskellen på, hvordan de to kurver opstår?
4. Hvordan bliver en kuppel til, hvis du tager en halvcirkelbue og drejer den om en lodret akse?
5. Hvilken kurve brugte Christopher Wren til den indre, bærende kuppel i St Paul's Cathedral?
6. Hvordan adskiller en løgkuppel sig fra en halvkuppel (halvkugle)?
7. Nævn to grunde til, at løgkuplens form kan være praktisk.
8. Udfordring: Forklar med dine egne ord, hvorfor en hængende kæde og en stående bue (vendt på hovedet af kæden) begge er stærke former.

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Fordi stenene er kileformede og presser på hinanden hele vejen rundt — jo mere vægt broen bærer, jo hårdere presses de sammen, og ingen sten kan falde ud.
2. En kædekurve er den form, en kæde eller snor danner, når den hænger frit mellem to punkter. Du laver den selv ved at holde en snor løst i begge ender.
3. Kædekurven opstår, når vægten er jævnt fordelt langs selve kurven (som i en fritthængende kæde). Parablen opstår, når vægten i stedet er jævnt fordelt vandret (som vejbanen på en hængebro).
4. Man får en kuppel — en tredimensionel form, hvor hvert punkt på overfladen har samme afstand til centrum, ligesom en halvkugle.
5. Han brugte kædekurven — den samme kurve, som en hængende kæde danner.
6. En løgkuppel buler ud bredere end en halvkugle, før den smalner ind til en spids top, mens en halvkuppel følger en jævn halvcirkel hele vejen.
7. For eksempel: den brede bule leder regn og sne hurtigt væk, og den spidse top peger dramatisk op mod himlen.
8. Egne svar — for eksempel: i begge former løber kræfterne langs selve kurven i stedet for at bøje den, så materialet kun bliver trukket eller presset, aldrig bøjet på tværs. Det er derfor, de kan bære så meget med så lidt materiale.

Næste gang du går over en bro eller står under en kuppel, så kig godt efter. De samme kurver, du nu kender fra dette hæfte — cirklen, parablen og kædekurven — er det, der holder dem oppe.

I kapitel 8 mødte vi keglesnittene: cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen. De er ikke kun smukke figurer på papiret — de styrer, hvordan en sten flyver gennem luften, hvordan et spejl kan samle sollys, og hvordan planeter og kometer bevæger sig gennem solsystemet. Lad os se på nogle flere eksempler.

Cirklen — den mest effektive form

Her er en overraskende kendsgerning: af alle flade former med samme omkreds er det cirklen, der indeslutter det største areal. Har du et reb af en bestemt længde og skal indhegne så stort et areal som muligt, skal du lægge rebet i en cirkel — ikke i et kvadrat eller nogen anden form.

Det er også derfor, en sæbeboble altid bliver rund: den finder automatisk den form, der bruger mindst overflade til at indeholde en given mængde luft.

Parablen — stenkastets bane

Kast en sten ud i luften uden noget, der bremser den — ingen luftmodstand — og dens bane bliver en ren parabel. Det gælder enhver kastet genstand: en bold, en kanonkugle, en vandstråle fra en slange. Tyngdekraften trækker jævnt nedad hele vejen, mens genstanden bevæger sig fremad med konstant fart, og det giver netop den parabelform, vi mødte i kapitel 8.

Denne idé bruges faktisk til at træne astronauter. Et specielt fly flyver op i en stor bue og følger derefter nøjagtig den samme parabelbane, som en frit kastet genstand ville følge. I et kort stykke tid — omkring 20-25 sekunder — er både flyet og alt inden i det i frit fald, og passagererne oplever vægtløshed, ganske som stenen ville have gjort, hvis den kunne mærke noget.

Parablen har en anden overraskende egenskab, som vi også mødte i kapitel 8: dens brændpunkt. Stråler, der kommer ind parallelt med parablens akse, bliver alle reflekteret ind i det samme brændpunkt — uanset hvor på kurven de rammer.

Det er derfor, parabolske spejle bruges i solovne, hvor solens stråler samles i ét punkt med enorm varme, i radioteleskoper, der opsamler svage radiosignaler fra det ydre rum, og i satellitantenner, der samler et tv-signal i modtageren, som sidder præcis i brændpunktet.

Vi mødte også parablen i forrige kapitel, i hængebroens hovedkabel. Når vejbanen er hængt op og fordeler sin vægt jævnt hen over kablets vandrette længde, retter kablet sig ind efter netop en parabel. Nogle buebroer bruger den samme kurve omvendt: en parabelformet bue, der bærer presset nedefra i stedet for trækket oppefra.

Ellipsen — planetbaner og periodiske kometer

Kepler viste for over 400 år siden, at planeterne bevæger sig i ellipser omkring Solen, med Solen i det ene brændpunkt. Det samme gælder de fleste kometer, vi kender — bare med langt mere aflange ellipser, der sender dem meget langt væk fra Solen og tilbage igen.

Jeg har selv fulgt kometen 10P/Tempel 2 med mit eget teleskop og regnet dens bane ud fra mine egne observationer. Her ser du resultatet.

10P/Tempel 2 er det, man kalder en periodisk komet — dens bane er en lukket ellipse, ligesom planeternes, men meget mere aflang. Den kommer nærmest Solen (sit perihel) inden for Mars' bane, og længst væk (sit aphel) ude forbi Jupiters bane, cirka 4,6 AU fra Solen.

Sådan ser en komet faktisk ud gennem et teleskop: en lille, sløret plet, næsten som en stjerne, der er løbet lidt ud i det. Men ud fra netop den slags billeder — taget nat efter nat — kan man regne sig frem til hele banens form, sådan som diagrammet ovenfor viser.

Parabolske og hyperbolske baner — besøgende udefra

Ikke alle kometer er periodiske. Nogle kommer forbi Solen én eneste gang og forsvinder for altid. Hvilken bane et objekt følger, afhænger udelukkende af, hvor hurtigt det bevæger sig.

Det er faktisk sket: i 2017 opdagede astronomer 'Oumuamua, og i 2019 kometen 2I/Borisov — begge på tydeligt hyperbolske baner. De to er de første bekræftede besøgende fra et andet solsystem, vi nogensinde har observeret.

Opgaver

1. Hvilken flad form indeslutter det største areal for en given omkreds?
2. Hvorfor er en kastet stens bane (uden luftmodstand) en parabel?
3. Hvordan bruger et vægtløshedsfly parablens form til at give astronauter en fornemmelse af vægtløshed?
4. Hvad sker der med parallelle stråler, der rammer et parabolsk spejl?
5. Nævn to teknologier, der bruger parabolske spejle.
6. Hvad er forskellen på en periodisk komets bane og en planets bane?
7. Hvilken hastighed afgør, om en bane bliver en ellipse, en parabel eller en hyperbel?
8. Udfordring: Hvorfor betyder en hyperbolsk bane, at et objekt kommer udefra solsystemet?

Svar

(kig først, når du selv har prøvet)

1. Cirklen.
2. Fordi tyngdekraften trækker jævnt nedad hele vejen, mens stenen bevæger sig fremad med konstant fart — det giver netop parablens form.
3. Flyet flyver i en stor bue, der følger nøjagtig den samme parabelbane, som en frit kastet genstand ville følge. I den periode er både fly og passagerer i frit fald, hvilket giver følelsen af vægtløshed i omkring 20-25 sekunder.
4. De reflekteres alle ind i det samme punkt: parablens brændpunkt.
5. For eksempel: solovne, der samler sollys i et brændpunkt, og radioteleskoper eller satellitantenner, der samler signaler i et brændpunkt.
6. En planets bane er en næsten cirkulær ellipse tæt på Solen; en periodisk komets bane er en meget mere aflang ellipse, der sender den langt uden for planetbanerne og tilbage igen.
7. Hvor hurtigt objektet bevæger sig sammenlignet med undslippelseshastigheden.
8. Egne svar — for eksempel: havde objektet altid hørt til i solsystemet, kunne Solens tyngdekraft højst have givet det en parabolsk bane (netop undslippelseshastigheden). En hyperbolsk bane betyder, at farten er højere end det, så objektet må være ankommet med ekstra fart udefra.

Fra en kastet sten til en komet millioner af kilometer væk — de samme fire kurver, cirklen, ellipsen, parablen og hyperblen, dukker op igen og igen. Det er noget af det smukkeste ved geometrien: nogle af de allersimpleste former, der findes, viser sig at styre næsten alt omkring os.