Seks forsøg at starte med
Hvert forsøg stiller optikbænken op for dig og fortæller, hvad du skal kigge efter.
Træk for at dreje · rul eller knib for at zoome · ikke målfast
Objektet
Lyset
Filteret i brændplanet
Alle tre felter er set i lysets retning. Objektfeltet er 4 mm bredt, Fourier-planet 4 mm, og begge linser har brændvidden f = 200 mm. Beregningen er en ægte 2D Fourier-transformation af objektet (256 × 256 punkter), ikke en tegning.
1Idéen: billedet bygges i to trin
I 1873 sad Ernst Abbe hos Carl Zeiss i Jena og prøvede at forstå, hvorfor nogle mikroskopobjektiver viste fine detaljer, og andre ikke gjorde, selv om de var lige godt slebet. Svaret blev en helt ny måde at se på billeddannelse.
Når parallelt lys rammer et objekt – et gitter, en celle, et stykke tekst – spredes det i mange retninger. Hver retning svarer til et bestemt detaljeniveau i objektet: grove træk sender lyset en lille smule til siden, fine detaljer sender det langt ud. En linse samler alt lys, der går i samme retning, i ét punkt i sit brændplan. Derfor ligger der i brændplanet et kort over objektets retninger – det er Fraunhofer-diffraktionsmønsteret, som ellers først ville vise sig uendelig langt væk.
Lyset stopper ikke dér. Hvert lyspunkt i brændplanet sender en ny bølge videre, og hvor bølgerne mødes igen, interfererer de og danner billedet. Billedet er altså diffraktionsmønsterets diffraktionsmønster. Optikbænken ovenfor viser dette som en såkaldt 4f-opstilling: objekt, linse, brændplan, linse og billede, med afstanden f mellem hvert led.
Den vigtige konsekvens: Alt hvad der ikke kommer igennem brændplanet, kan aldrig dukke op i billedet. En linses kant, en iris eller et stykke tape i brændplanet bestemmer direkte, hvilke detaljer billedet får med.
2Matematikken: linsen er en Fourier-transformator
Lad objektets transmission være \(t(x,y)\) – en kompleks funktion, der fortæller, hvor meget af lysets amplitude der slipper igennem, og hvor meget fasen forskydes. Med objektet i linsens forreste brændplan bliver feltet i det bageste brændplan
\[ U(x_F,y_F) \;\propto\; \iint t(x,y)\, e^{-i2\pi\,(u x + v y)}\,dx\,dy \;=\; T(u,v), \qquad u=\frac{x_F}{\lambda f},\quad v=\frac{y_F}{\lambda f}. \]
Det er præcis den todimensionale Fourier-transformation af objektet. Størrelserne \(u\) og \(v\) er rumlige frekvenser – antal linjer pr. millimeter – og et punkt i brændplanet i afstanden \(x_F\) fra aksen svarer til frekvensen \(u = x_F/(\lambda f)\).
Et gitter med perioden \(p\) har kun frekvenserne \(0, \pm 1/p, \pm 2/p, \dots\). I brændplanet giver det lyspletter i afstandene
\[ x_m = m\,\frac{\lambda f}{p}, \qquad m = 0,\pm1,\pm2,\dots \]
– de velkendte diffraktionsordener, nu bare samlet i et plan i stedet for på en fjern væg. Den anden linse udfører endnu en Fourier-transformation. To transformationer efter hinanden giver funktionen tilbage, men spejlet: \(\mathcal{F}\{\mathcal{F}\{t\}\}(x,y) = t(-x,-y)\). Derfor står billedet på hovedet. Har linserne forskellige brændvidder \(f_1\) og \(f_2\), forstørres billedet med \(f_2/f_1\).
Sætter vi et filter \(H(x_F,y_F)\) ind i brændplanet, bliver billedfeltet den inverse transformation af \(T\cdot H\). Det er det, siden her regner ud, hver gang du flytter en skyder.
3Opløsningsgrænsen
Abbes vigtigste resultat følger direkte: For at et gitter overhovedet kan ses som striber, skal både 0. orden og mindst én af 1. ordenerne nå frem til billedet. Med kun 0. orden er der ingen interferens, og billedet er jævnt lyst. Hvis åbningen i brændplanet har radius \(R\), skal \(\lambda f/p \le R\), så den mindste periode, der gengives, er
\[ p_{\min} = \frac{\lambda f}{R} = \frac{\lambda}{\mathrm{NA}}, \qquad \mathrm{NA} = n\sin\alpha \approx \frac{R}{f}. \]
Belyses objektet skråt, så 0. orden ligger ved kanten af åbningen, kan den modsatte 1. orden komme med fra den anden kant, og grænsen halveres til den berømte
\[ d = \frac{\lambda}{2\,\mathrm{NA}}. \]
Med grønt lys og et olieimmersionsobjektiv (NA ≈ 1,4) er det omkring 0,2 µm. Det er ikke et spørgsmål om bedre slibning – det er bølgefysik. Formlen står på Abbes mindesten i Jena. Bemærk også \(\lambda\) i tælleren: kortere bølgelængde giver finere detaljer. Det er grunden til, at elektronmikroskoper (se optiksiden) kan se atomer.
4Airy-skiven: billedet af et punkt
Forbindelsen går også den anden vej. Er objektet et enkelt lysende punkt – en stjerne – er dets Fourier-transformation helt jævn, og det er åbningen i linsen, der bestemmer, hvad der kommer igennem. Billedet af punktet bliver derfor Fourier-transformationen af selve linseåbningen. For en cirkulær åbning med diameteren \(D\) er det Airy-mønsteret: en lys skive omgivet af svage ringe, med første mørke ring ved
\[ \sin\theta = 1{,}22\,\frac{\lambda}{D}. \]
Det er Rayleighs kriterium for, hvornår to stjerner kan skilles ad. I forsøget Airy-skiven ovenfor er det omvendt: objektet er et lille rundt hul, og mønsteret i brændplanet er dets Fourier-transformation. Matematikken er den samme.
Samme tanke forklarer diffraktionsspidserne på stjernebilleder: holderen til sekundærspejlet i et spejlteleskop er tynde stænger, og en tynd stang har en Fourier-transformation, der er en lang streg vinkelret på stangen. Fire stænger giver fire spidser. Og Bahtinov-masken virker, fordi dens tre gitre giver tre streger i brændplanet, som kun står symmetrisk, når fokus er præcist.
5Abbe–Porter-forsøget
Abbe demonstrerede sin teori med mikroskopet, men det klassiske forsøg blev gjort tydeligt af Albert Porter i 1906. Et fint trådnet belyses med parallelt lys. I brændplanet ser man et kvadratisk gitter af lyspletter: de lodrette tråde giver en vandret række pletter, de vandrette tråde en lodret række.
Sætter man en vandret spalte i brændplanet, slipper kun den vandrette række igennem. I billedet er de vandrette tråde forsvundet – kun de lodrette er tilbage. Drej spalten 90°, og det er omvendt. Lad kun en skrå række passere, og billedet viser skrå tråde, som slet ikke findes i nettet! Prøv det med Mal selv med sort tape: dæk alt undtagen en diagonal række pletter.
Forsøget er det tydeligste bevis på, at billedet virkelig samles af diffraktionsordenerne. Det er grundlaget for al optisk filtrering – fra at fjerne rasterprikker i gamle avisfotos til mønstergenkendelse med lys.
6Fasekontrast: Zernikes Nobelpris
En levende celle i vand er næsten helt gennemsigtig. Den absorberer intet, men forsinker lyset lidt, fordi brydningsindekset er højere. Transmissionen er \(t = e^{i\varphi(x,y)}\), og da \(|t|^2 = 1\), er cellen usynlig i et almindeligt mikroskop. Vælg Gennemsigtige celler uden filter: billedet er jævnt.
For en svag fase er \(t \approx 1 + i\varphi\). Ettallet er det udiffrakterede lys, som samles i midterpletten i brændplanet. Leddet \(i\varphi\) er det diffrakterede lys, og faktoren \(i\) betyder, at det er 90° ude af takt med midterlyset. Derfor interfererer de ikke i intensiteten. Frits Zernike indså i 1930'erne, at en lille plade i brændplanet, der kun forsinker midterpletten med en kvart bølgelængde, ganger ettallet med \(i\):
\[ i + i\varphi = i\,(1+\varphi) \quad\Rightarrow\quad I \approx 1 + 2\varphi. \]
Nu er fasen blevet til lysstyrke, og cellen træder frem. Zernike fik Nobelprisen i fysik for det i 1953. Blokerer man i stedet midterpletten helt (mørkefelt), bliver \(I \approx \varphi^2\): cellerne lyser svagt på sort baggrund. Begge dele kan du prøve på optikbænken.
7Prøv det selv – uden laboratorium
Dit eget øje er en 4f-opstilling i lommeformat: øjets linse fokuserer på uendelig, og nethinden sidder i brændplanet. Kig på en fjern gadelygte gennem et stykke tæt gardin, en paraply eller et fint dørnet. Lygten er et punkt, så det du ser, er Fourier-transformationen af stoffet: et kvadratisk gitter af lyspletter. Drej stoffet, og mønsteret drejer med. Stræk det, og pletterne rykker tættere sammen – frekvens og periode er omvendt proportionale.
Med en laserpointer, et forstørrelsesglas og et stykke tyl kan du lave Abbe–Porter-forsøget: sæt tyllen i strålen, find brændplanet bag linsen med et stykke papir, og læg en spalte af to stykker tape over pletterne. Med en ekstra linse kan billedet af tyllen fanges på en væg.
Pas på øjnene: Kig aldrig ind i en laser, heller ikke i en reflekteret stråle. Brug en svag pointer (klasse 2, under 1 mW) og lad pletterne lande på papir eller en væg.
Ved teleskopet kan du se Airy-skiven direkte: brug høj forstørrelse på en klar stjerne en rolig nat. Sæt en papmaske med et mindre hul foran teleskopet, og ringene bliver større – mindre åbning, bredere Fourier-transformation.
8Opgaver
1. Pletterne fra et gitter
Et gitter med perioden 0,25 mm belyses med en grøn laser (532 nm). Linsen har brændvidden 200 mm. Hvor langt fra aksen ligger 1. orden i brændplanet? Kontrollér med optikbænken.
\(x_1 = \lambda f/p = 532\cdot10^{-6}\,\text{mm}\cdot 200\,\text{mm}/0{,}25\,\text{mm} \approx 0{,}43\,\text{mm}\).
2. Iris og bølgelængde
En iris med radius 0,30 mm sidder i brændplanet (f = 200 mm). Hvad er den mindste gitterperiode, der kan ses i billedet med rødt lys (650 nm) og med blåt lys (450 nm)?
\(p_{\min} = \lambda f/R\): rødt 0,43 mm, blåt 0,30 mm. Blåt lys gengiver finere detaljer.
3. Et teleskops opløsning
Et teleskop har en åbning på 114 mm. Hvor stor er vinkelradius af Airy-skiven ved 550 nm, i buesekunder?
\(\theta = 1{,}22\,\lambda/D = 1{,}22\cdot 550\cdot10^{-9}/0{,}114 \approx 5{,}9\cdot10^{-6}\) rad ≈ 1,2″. I praksis begrænser luftens uro (seeing) som regel til 2–3″.
4. Mikroskopets grænse
Et objektiv har NA = 0,65. Hvad er den mindste afstand mellem to detaljer, der kan skilles ad i grønt lys (550 nm) med skrå belysning?
\(d = \lambda/(2\,\mathrm{NA}) = 550/1{,}3 \approx 420\) nm.
5. Fasekontrast
En celle forsinker lyset med fasen 0,2 rad i forhold til omgivelserne. Hvor stor er den relative kontrast med Zernikes faseplade, og med mørkefelt?
Fasekontrast: \(I \approx 1 + 2\varphi = 1{,}4\), altså 40 % lysere end baggrunden. Mørkefelt: \(I \approx \varphi^2 = 0{,}04\) på sort baggrund – svagt, men på mørk grund ses det.
6. Hvorfor skrå tråde?
I Abbe–Porter-forsøget lader du kun den diagonale række pletter gennem brændplanet. Forklar, hvorfor billedet viser skrå striber, og hvilken periode de har, når nettets periode er \(p\).
Den diagonale række svarer til frekvenserne \(m(1/p, 1/p)\), dvs. en bølge, der varierer langs diagonalen med frekvensen \(\sqrt2/p\). Striberne står vinkelret på diagonalen og har perioden \(p/\sqrt2\).