1Månen som prøvesten
Månen er på én gang det nemmeste og det sværeste objekt på himlen at bestemme en bane for. Nemt, fordi den er stor og tæt på: horisontalparallaksen er omkring 57 bueminutter. Svært, fordi den er det klassiske eksempel på, at tolegemeproblemet bryder sammen.
Solens forstyrrelse er af størrelsesordenen \(m^2=(n'/n)^2\approx 1/179\) — enormt sammenlignet med, hvad planeterne gør ved en komet over en kort bue. Konsekvenserne har navne, fordi de blev opdaget længe før de blev forklaret: evektionen på 1,27°, variationen på 0,66°, den årlige ligning på 0,19°. Apselinjen drejer 0,11° i døgnet, knudelinjen løber baglæns på 18,6 år. Månen har ingen entydige baneelementer.
Netop derfor er den en god prøvesten. Et objekt, hvor keplerbanen passer perfekt, fortæller ingenting om, hvad en metode kan. Et objekt, hvor den ikke gør, afslører både metodens styrke og dens grænse.
2Vej A: Gauss' opstilling
Månens sted i rummet er observatørens stedvektor plus afstanden gange retningen:
Retningerne kendes; de tre afstande er de ubekendte. For Månen er centrallegemet Jorden, så \(\mu=G(M_\oplus+M_{\text{måne}})=403\,503\ \text{km}^3\text{s}^{-2}\), og observatørvektoren er observationsstedets geocentriske stedvektor på ca. 6365 km — ikke Jordens heliocentriske position, som når man arbejder med en komet.
Basislinjen, der ikke blev til noget
Netop dér ligger den svaghed, der kom til at koste. Stedvektorens længde er den samme hver gang — 6363,4 km — men dens retning afhænger af, hvor langt Jorden er nået rundt. Og fordi det sideriske døgn er fire minutter kortere end det borgerlige, står Jorden næsten i samme stilling på samme klokkeslæt fra nat til nat. Fire af de fem optagelser blev taget omkring 21:03–21:16 UTC:
| Par | Vinkel mellem stedvektorerne | Afstand i rummet |
|---|---|---|
| 19/5 – 21/5 | 2,67° | 297 km |
| 21/5 – 22/5 | 0,69° | 76 km |
| 21/5 – 25/5 | 0,10° | 12 km |
| 22/5 – 25/5 | 0,58° | 65 km |
| 19/5 – 24/5 | 14,81° | 1 640 km |
Optagelserne fra 21. og 25. maj er 12 kilometer fra hinanden — ud af de 6378 km, parallaksen kunne have haft til rådighed. Kun 24. maj falder ud af rækken, fordi den er taget 22:31 i stedet, og den ene ramme bidrager med 1640 km. Det er hele den basislinje, opstillingen havde. Punkt 5 i opskriften — «spred timevinklerne» — er altså ikke en formalitet; den er forskellen mellem en brugbar og en ubrugelig serie.
3Hele signalet er otte bueminutter
Det er værd at gøre sig klart, hvor lidt metoden har at arbejde med. Tre retninger, der ligger nøjagtigt på en storcirkel, indeholder ingen information om afstand overhovedet — enhver bane i det plan ville passe. Al information sidder i afvigelsen fra storcirklen: dels banens egen krumning ud af planet, dels den daglige parallakse, fordi Jordens rotation flytter observatøren 12 700 km.
Deraf tommelfingerreglen for, hvor godt retningerne skal kendes:
Ét bueminuts fejl giver omkring to procent i afstanden. Et alt-az-monterings rå pegning ligger typisk på 2–10 bueminutter. Det rækker ikke; der skal plate solve til.
Og derfor svigter den klassiske iteration
Selve opstillingen er lærebogsagtig: koplanaritetsbetingelsen giver Lagranges ottendegradsligning \(x^8+ax^6+bx^3+c=0\), hvis positive reelle rod er afstanden til den midterste position, og derefter forbedres løsningen med Lagranges \(f\)- og \(g\)-funktioner. Men netop fordi banen ligger så tæt på en storcirkel, bliver tripelproduktet
forsvindende lille — og det står i nævneren:
Afstanden fremkommer altså som en lille forskel mellem store tal. En ændring i \(c_1\) på \(10^{-3}\) flytter afstanden med 100 000 km. I praksis divergerede iterationen: løsningen oscillerede og løb ud i en hyperbolsk bane efter fem–seks omgange.
Løsningen — som i øvrigt er Gauss' egen arbejdsgang fra Ceres i 1801 — er at bruge Gauss udelukkende som startgæt og derefter køre en differentialkorrektion: en Levenberg–Marquardt-tilpasning af tilstandsvektoren til samtlige observerede retninger, med eksakte \(f\) og \(g\) i universelle variable. Startgættet fra 19., 22. og 25. maj gav \(a=318\,955\) km og \(e=0{,}131\) — temmelig ringe, fordi de afkortede rækker ikke holder over tre døgn. Men rigeligt til at komme i gang.
4Gauss-resultatet
| Element | Gauss + korrektion | Sandt (osk., 22. maj) | Afvigelse |
|---|---|---|---|
| halve storakse a | 375 439 km | 380 411 km | −1,31 % |
| excentricitet e | 0,06245 | 0,06239 | +0,00006 |
| inklination i | 5,0282° | 5,0322° | −0,0040° |
| knude Ω | 334,3460° | 334,3136° | +0,0324° |
| perigæumsargument ω | 73,43° | 82,52° | −9,09° |
| omløbstid T | 26,336 d | 26,861 d | −0,525 d |
| perigæumsafstand | 351 992 km | 356 676 km | −4 684 km |
Læg mærke til mønstret. Baneplanen rammes på hundrededele af en grad — inklination og knude er de to elementer, retninger bestemmer direkte. Storaksen, som afhænger af de otte bueminutters parallaksesignal, er 1,3 % gal, og omløbstiden følger med, fordi \(T\propto a^{3/2}\). Perigæumsargumentet er ni grader galt, men med \(e=0{,}06\) er apselinjen næsten ikke defineret — og den drejer i forvejen 0,11° i døgnet.
Residualet er 2,43 buesekunder. Fem eksakte positioner, seks frie parametre — og keplerellipsen kan stadig ikke passe bedre. Det er ikke måleusikkerhed. Det er evektionen og variationen, målt direkte.
Tre punkter passer perfekt — og er syv procent forkerte
For at adskille metodens fejl fra datas fejl blev det hele gentaget på syntetiske observationer uden nogen målestøj. Samme bue, tre observationsstrategier:
| Strategi | Residual | a (km) | Afvigelse | e |
|---|---|---|---|---|
| 3 obs, én pr. nat, samme klokkeslæt | 0,0000″ | 355 370 | −8,0 % | 0,0289 |
| 3 obs, én pr. nat, spredte timevinkler | 0,0000″ | 360 997 | −6,5 % | 0,0254 |
| 9 obs, tre pr. nat i tre nætter | 2,82″ | 385 143 | −0,3 % | 0,0548 |
Sandt: \(a=386\,279\) km, \(e=0{,}05739\). De to tre-punkts-løsninger passer perfekt — seks residualer, seks ubekendte, ingen rest — og de er syv procent forkerte. Først når systemet overbestemmes, dukker fejlen op som noget, man kan se. Overbestemmelse er ikke en luksus; det er den eneste måde, en modelfejl overhovedet kan komme til syne på.
Bemærk også forskellen mellem de to tre-punkts-rækker. Tager man alle billeder på samme klokkeslæt, sidder observatøren næsten samme sted i forhold til baneplanen hver gang, og den daglige parallakse bidrager ikke differentielt. Timevinklerne skal spredes.
Fejlbudget
| Pegepræcision σ | Medianfejl i |r| | Spredning på a | Residual-rms |
|---|---|---|---|
| 5″ | 392 km | 0,69 % | 4,9″ |
| 15″ | 1 423 km | 2,67 % | 12,4″ |
| 30″ | 1 770 km | 4,3 % | 22,7″ |
| 1′ | 6 617 km | 11,4 % | 48,6″ |
| 2′ | 12 064 km | 19,6 % | 96,7″ |
| 5′ | 24 654 km | 41,5 % | 234,8″ |
Der skal astrometri til på buesekundniveau. Vejen dertil for en amatør går ikke gennem teleskopet, men gennem et almindeligt kamera med et 85–135 mm objektiv: to eksponeringer i træk uden at røre kameraet — en kort til Månen, så randen ikke er brændt ud, og en lang til stjernerne. Plate-solv den lange, overfør løsningen til den korte, tilpas en cirkel til randen og aflæs skivens centrum. Og husk refraktionen: ved lave højder er den flere bueminutter, altså langt større end den præcision, vi jagter.
5Vej B: Kepler, i korte træk
Den anden vej bruger ikke retninger overhovedet. Den bygger på, at et billede af Månen indeholder to helt uafhængige geometriske størrelser, som begge er skalafri: de afhænger kun af forhold mellem længder i billedet.
- Randen er projektionen af en kugle, altså en cirkel. Radius i pixels giver vinkeldiameteren, altså afstanden: \(\sin s=R_{\text{måne}}/\Delta\). Med pladeskalaen fra optikken alene — 2,9 µm pixels ved 450 mm giver 1,3293″/px — rammer den måneafstanden inden for 0,02–0,36 %.
- Terminatoren er projektionen af en storcirkel, altså en ellipse med samme centrum og samme store halvakse som randen. Dens lille halvakse er \(R\cos i\), og fasevinklen \(i\) giver elongationen fra Solen gennem trekanten Sol–Jord–Måne — og dermed Månens ekliptiske længde.
Fem nætter giver dermed fem par \((r,\lambda)\) i ekliptikaplanet — præcis den datatype, Kepler arbejdede med. En planbane har kun fire frie parametre, når centrallegemets masse er kendt, så ti betingelser på fire ubekendte.
Hele udledningen, målemetoden med de to blindgyder, og alle mellemregninger står i den selvstændige artikel:
Resultatet: \(a=381\,311\) km (+0,24 %), \(e=0{,}0614\), perigæumslængde 55,85°, og omløbstiden \(T=26{,}956\) døgn (+0,10 %). Perioden er det bemærkelsesværdige — afstandene alene kunne ikke give den, for en seks døgn lang, monotont stigende afstandskurve indeholder den ikke. Det er vinkelbevægelsen, der leverer den.
6De to veje side om side
| Element | Gauss (retninger) | Kepler (rand + terminator) | Sandt |
|---|---|---|---|
| halve storakse a | 375 439 (−1,31 %) | 381 311 (+0,24 %) | 380 411 km |
| excentricitet e | 0,06245 (+0,00006) | 0,0614 (−0,0010) | 0,06239 |
| inklination i | 5,0282° (−0,004°) | ikke bestemt | 5,0322° |
| knude Ω | 334,346° (+0,032°) | ikke bestemt | 334,314° |
| omløbstid T | 26,336 d (−0,53 d) | 26,956 d (+0,10 d) | 26,861 d |
| perigæumsafstand | 351 992 km | 357 910 km | 356 676 km |
| residual | 2,43″ | ~300 km og ~1,3° | — |
Gauss måler planen. Inklination og knude er det, retninger bestemmer direkte, og de kommer ud på hundrededele af en grad. Til gengæld hviler afstanden på de otte bueminutters afvigelse fra storcirklen, og der bliver storaksen 1,3 % gal — hvorefter omløbstiden følger med.
Kepler måler størrelsen. Afstand og omløbstid rammes på et par tiendedele af en procent, fordi de kommer af skivens diameter og af vinkelbevægelsen. Til gengæld indeholder en elongation ingen information om baneplanen overhovedet — retningen til Månen kendes kun som en vinkel fra Solen, ikke som et punkt på himlen.
De to er altså ikke konkurrenter, men komplementære. Kombinerer man dem — retninger til at fastlægge planen, skivediameter til at fastlægge størrelsen — er der ingen grund til, at en amatør ikke skulle kunne nå promillen på alle seks elementer.
7Opskrift
- Fem til ti nætter spredt over mindst to uger. Seks døgn rækker til formen, men perioden bliver langt bedre bestemt, når serien spænder over både perigæum og apogæum.
- Månen helt inde i billedfeltet, med god margen. En randbue under 100° gør cirkeltilpasningen dårligt betinget.
- Højde over 15°, gerne over 25°. Den differentielle refraktion trykker skiven 1,2 % sammen i 8° højde.
- Faser mellem segl og gibbous. Ved fuldmåne er terminatoren væk, ved nymåne er der ingen skive.
- Spred timevinklerne — det er den daglige parallakse, der bærer afstanden i Gauss-vejen.
- Kontrollér tidszonen. En forkert tidszone flytter Månen under horisonten på mindst én optagelse, og det er den nemmeste måde at opdage fejlen på.
- Til Kepler-vejen skal der ikke bruges plate solve, stjernefelt, monteringens pegeretning eller nogen efemeride for Månen. Kun Solens position og instrumentets pixelstørrelse og brændvidde.
Valget af metode er ikke bare et spørgsmål om, hvilken der er «bedst». Det er et spørgsmål om, hvilken datatype instrumentet faktisk producerer. Gauss' metode kræver retninger, og retninger kræver astrometri. Keplers metode kræver afstande og længder — og dem kan man aflæse på selve skiven, med et instrument der ikke aner, hvor det peger hen.
At Månen så nægter at være en keplerellipse er ikke en fejl i nogen af metoderne. Det er det mest interessante ved hele øvelsen.