Skovens ekko

En stamme er en lodret cylinder med radius \(a\). Når klappet rammer den i afstanden \(r\), bliver lyden kastet tilbage fra den del af stammen, der vender mod dig. Lodret virker stammen som et plant spejl, vandret som et krumt spejl, der spreder lyden. Strålegangen giver

Det gælder, når bølgelængden er kortere end stammens omkreds (\(ka \gg 1\)). For dybe toner (\(ka < 1\)) glider lyden uden om stammen, og ekkoet svækkes som \((ka)^{3/2}\) i amplitude. Overgangen ligger ved \(ka = 1\), altså \(f = c/2\pi a\). En stamme med diameter \(30\ \text{cm}\) (\(a = 0{,}15\ \text{m}\)) kaster derfor mest tilbage over \(f \approx 360\ \text{Hz}\). Klappets energi ligger omkring \(1\text{–}2\ \text{kHz}\), så det passer fint.

Træets højde betyder næsten intet. Den del af stammen, der bidrager, er en Fresnel-zone med højden ca. \(\sqrt{\lambda r}\). For \(f = 1\ \text{kHz}\) er \(\lambda \approx 0{,}34\ \text{m}\), og i afstanden \(r = 20\ \text{m}\) bliver det \(\sqrt{0{,}34 \cdot 20}\ \text{m} \approx 2{,}6\ \text{m}\). Stammen er næsten altid højere end det. Derfor er skyderen for træhøjde fjernet og erstattet af stammetykkelsen, som betyder meget.

Sammenlign ekkoet fra én stamme med klappet ved dine egne ører. Hænderne er ca. \(r_0 = 0{,}4\ \text{m}\) fra ørerne, så klappet har amplituden \(p_0/r_0\). Ekkoet fra en stamme i afstanden \(r\) er \((p_0/2r)\sqrt{a/2r}\). Forholdet er

For en stamme med radius \(a = 0{,}15\ \text{m}\) i afstanden \(r = 20\ \text{m}\) giver det

I decibel er en forskel i lydtryk \(\Delta L = 20\log_{10}(p_1/p_2)\), så ekkoet ligger \(20\log_{10}(6{,}1\cdot10^{-4}) \approx -64\ \text{dB}\) under klappet. Står du på engen, er hele skovbrynets ekko typisk \(50\text{–}70\ \text{dB}\) svagere end klappet. Inde i skoven, hvor de nærmeste stammer står få meter væk, er forskellen mindre, ca. \(50\ \text{dB}\).

Alligevel hører man tydeligt skovens ekko i virkeligheden. Et klap kan give over \(100\ \text{dB}\) ved øret, så ekkoet ligger stadig på \(40\text{–}50\ \text{dB}\), og i en stille skov er baggrundsstøjen måske \(25\text{–}30\ \text{dB}\). Øret har et dynamikområde på omkring \(120\ \text{dB}\) og kommer sig efter klappet i løbet af nogle få tiendedele sekund.

En højttaler kan ikke det samme. I en almindelig stue, og især fra en telefon, er der kun \(40\text{–}60\ \text{dB}\) mellem det kraftigste og det, der lige kan skelnes fra støjen i rummet. Lægger man klappet på fuld styrke, forsvinder ekkoet derfor helt. Det var grunden til, at ekkoet først var næsten uhørligt på denne side.

Derfor forstærkes ekkoet i afspilningen, så det kraftigste ekko ligger \(12\ \text{dB}\) under klappet. Siden skriver, hvor mange dB det er forstærket. Alle ekkoer ganges med samme faktor, så forholdet mellem dem er uændret: rækkefølgen, mellemrummene mellem rækkeekkoerne i plantagen og faldet som \(t^{-2}\) er de samme som uden forstærkning. Kun forholdet til klappet er ændret. Det svarer til at strække et astrofoto, så en svag galakse kan ses ved siden af en klar stjerne.

Slå forstærkningen fra, og du hører de ægte styrkeforhold. Vælg „Fjern det direkte klap“, og du hører ekkoet alene, som man næsten gør i virkeligheden, når øret har vænnet sig efter klappet. Graferne viser altid de ægte, uforstærkede værdier.

Et ekko, der kommer tilbage efter tiden \(t\), kommer fra træer i afstanden \(r = ct/2\). Står træerne tilfældigt med tætheden \(n\) pr. m², er antallet af træer i en ring med bredden \(dr\) lig med \(2\pi n r\,dr\). Det vokser med \(t\). Hvert ekko har energien \(\propto a/r^3 \propto t^{-3}\). Samlet:

Potensloven kommer altså af geometrien: en todimensional skov af høje cylindre. Kugleformede spredere i et tredimensionalt rum ville give \(t^{-3}\) i stedet. Ekkogrammet viser, at den beregnede lyd følger \(t^{-2}\), indtil dæmpningen gennem skoven tager over.

En tidligere version af siden forklarede \(t^{-2}\) med skovbundens absorption og lyd, der forsvinder op gennem kronerne. De to ting gør ekkoet svagere, men det er ikke dem, der giver eksponenten \(-2\).

Lyden, der når ud til de fjerne træer, er selv blevet svækket af de nærmere træer, fordi de har spredt noget af den væk. Man beskriver det med et komplekst effektivt bølgetal. For et tyndt medium af spredere gælder (Foldy)

hvor \(f(0)\) er spredningsamplituden lige fremad. Den anden ligning er det optiske teorem: den imaginære del af fremad-amplituden fortæller, hvor meget energi der fjernes fra den direkte bølge. For en tyk stamme er ekstinktionsbredden \(\sigma_\text{ext} \approx 4a\), dobbelt så stor som stammens skygge (ekstinktionsparadokset). Den middel frie vejlængde er \(\ell = 1/(n\sigma_\text{ext})\). Ekkoet svækkes med \(e^{-r/\ell}\) i amplitude på vej ud og hjem, og det er den grå kurve i ekkogrammet.

Når lyden har gået mange frie vejlængder, bliver bevægelsen fra træ til træ en slags tilfældig vandring (en Wiener-proces), og lyden diffunderer. I en almindelig skov er typisk \(\ell \approx 30\text{–}100\ \text{m}\), så de første tiendedele sekund af ekkoet domineres af enkeltspredning, som her.

Stil træerne i et kvadratisk gitter med afstanden \(d\). Rækkerne vinkelret på din synsretning ligger i afstandene \(d, 2d, 3d,\dots\), så ekkoerne fra dem kommer med den faste tidsafstand \(2d/c\). Et regelmæssigt tog af ekkoer høres som en tone med grundfrekvensen \(c/2d\) og alle dens overtoner. Det er Braggs lov for tilbagekastning (\(\theta = 90^\circ\)):

Andre familier af rækker giver deres egne kamme: de diagonale med \(d/\sqrt2\), de næste med \(d/\sqrt5\) og så videre, præcis som gitterplanerne \((hk)\) i en krystal med \(d_{hk} = d/\sqrt{h^2+k^2}\). Samme fænomen høres ved et stakit eller en lang trappe. Den mest kendte trappe er pyramiden i Chichén Itzá, hvor et klap giver et kvidrende ekko.

Stil dig på engen foran plantagen og klap. Hver række sender et ekko tilbage, og i panelet „Ekkoet i tid“ lander de præcis på de stiplede linjer med afstanden \(2d/c\). Øret hører det som en summende, gentaget lyd med grundtonen \(c/2d\). Men kig efter: efter hvert rækkeekko følger en lille hale af svagere ekkoer. De kommer fra stammerne længere ude til siden i samme række, som ligger lidt længere væk. En række af enkelte stammer er nemlig ikke et plant spejl for en lydkilde tæt på; kun de nærmeste stammer ligger inden for Fresnel-zonen. Derfor bliver Bragg-kammen i spektret sløret, og tonen er kun svag i en rigtig plantage.

Røntgenstråler har det lettere: kilden er langt væk, så bølgen er plan, og hvert gitterplan indeholder millioner af atomer. Det er derfor, Bragg-pletterne fra en krystal er så skarpe. Inde midt i plantagen er virkningen endnu svagere, fordi de to-tre nærmeste stammer dominerer ekkoet fuldstændig.

I en krystal svinger atomerne omkring deres pladser. Et øjebliksbillede viser dem forskudt med en tilfældig afstand \(u\). Den spredte bølge fra hvert atom får derved en tilfældig fase \(\mathbf{q}\cdot\mathbf{u}\), og den kohærente del, Bragg-toppen, svækkes med Debye–Waller-faktoren

Ved tilbagekastning er \(q = 2k\). Flytter man plantagens træer tilfældigt med spredningen \(\sigma\), bliver \(2W = 4k^2\sigma^2\). Høje ordener, og dermed høje frekvenser, forsvinder først, præcis som de yderste røntgenpletter svinder, når krystallen varmes op. Energien går ikke tabt; den bliver til diffus støj mellem toppene, svarende til termisk diffus spredning. Prøv at skrue langsomt op for uordenen og se på panelet „Ekkoet i tid“: rækkeekkoerne glider væk fra de stiplede linjer og flyder ud. Allerede nogle få procents uorden er nok, fordi frekvenserne i et klap er høje. Det forklarer også, hvorfor en rigtig plantage sjældent ringer tydeligt: træer plantes ikke med centimeters nøjagtighed.

Den oprindelige side sammenlignede naturskoven med en krystal, hvis atomer ryster. Det er ikke helt træffende. En naturskov har ingen rækker overhovedet; den svarer til et amorft stof som glas eller en væske. Her giver røntgenspredning ingen skarpe pletter, kun brede, diffuse ringe, fordi atomerne ikke kan komme tættere end en vis afstand. Træer har på samme måde en mindsteafstand, så også naturskoven har lidt kortrækkende orden. Debye–Waller-billedet passer derimod præcist på en plantage med lidt skævt plantede træer.

En forskel mere: røntgenstråler spredes svagt, så krystallen kan beskrives med enkeltspredning. I en tæt skov kan lyden spredes flere gange. Modellen her regner kun med enkeltspredning plus den gennemsnitlige dæmpning.

Stammerne er stive, lodrette cylindre. Kroner, grene, blade og skovbunden er ikke med, heller ikke vind og temperaturlag. Luftens absorption svarer til \(20\ ^\circ\text{C}\) og \(50\ \%\) relativ luftfugtighed. Retningen høres ved en simpel tidsforskel og lydstyrkeforskel mellem ørerne; du vender mod toppen af kortet.