Gyngen

Gyngen som pendul

En gynge med snorlængden $L$ og en person, der sidder stille, er et pendul med svingningstiden

$$T\approx 2\pi\sqrt{\frac{L_{\rm eff}}{g}},$$

hvor $L_{\rm eff}$ er afstanden fra ophænget til det fælles tyngdepunkt, lidt kortere end snoren, fordi personen sidder over sædet. For en 2,2 m lang gynge er $T\approx 3$ s. Svingningstiden afhænger næsten ikke af, hvor tung personen er, og ikke af udsvinget, så længe det er under en 20–30°.

Hvordan man pumper uden at røre jorden

Personen kan ikke ændre det samlede impulsmoment om ophænget med indre kræfter. Kun tyngden kan det. Men personen kan flytte sit eget tyngdepunkt og skubbe til snorene. Når personen læner sig tilbage med et ryk, drejer overkroppen den ene vej, og reaktionen drejer snorene og sædet den anden vej, lidt frem. Gentages det i takt med gyngen, lægges de små skub sammen.

Bevægelsesligningerne

Lad $\varphi$ være snorenes vinkel med lodret og $\alpha$ personens vinkel, så personens hældning i forhold til snorene er $\psi=\alpha-\varphi$. Sædet sidder i $\mathbf S=L(\sin\varphi,-\cos\varphi)$, og personens kropsdele i $\mathbf S+\mathsf R(\alpha)\mathbf b_i$. Lagrange-ligningerne bliver

$$\begin{aligned} M_{11}\ddot\varphi+M_{12}\ddot\alpha&=-M g\,S_x+\dot\alpha^2C-\tau-\gamma M_{11}\dot\varphi,\\ M_{12}\ddot\varphi+M_{22}\ddot\alpha&=-g\textstyle\sum_i m_iB_{i,x}-\dot\varphi^2C+\tau, \end{aligned}$$

med $M_{11}=ML^2$, $M_{22}=\sum m_i|\mathbf b_i|^2$, $M_{12}=\sum m_i\,\mathbf S\cdot\mathbf B_i$ og $C=\sum m_i\,\mathbf S\times\mathbf B_i$, hvor $\mathbf B_i=\mathsf R(\alpha)\mathbf b_i$. Musklernes kraftmoment $\tau$ virker med modsat fortegn på snorene og på personen, og det er her, energien kommer ind:

$$\tau=-\kappa\left(\psi-\psi_{\rm mål}(t)\right)-c\left(\dot\psi-\dot\psi_{\rm mål}\right).$$

Musklerne opfører sig som en stiv fjeder med dæmpning, der trækker hældningen hen mod den ønskede $\psi_{\rm mål}$. Leddet $M_{12}$ er koblingen: accelererer personen sin krop, skubber det til gyngen og omvendt.

Hvornår skal man læne sig tilbage?

Simulationens automatiske person bruger reglen

$$\psi_{\rm mål}=A\tanh\left(\dot\varphi/\omega_c\right):$$

læn dig tilbage og stræk benene, mens gyngen bevæger sig fremad, og læn dig frem og bøj benene, mens den bevæger sig bagud. Skiftet sker ved vendepunkterne. Musklernes arbejde pr. svingning er $W=-\oint\tau\,d\psi$. Det er positivt, når hældningen er faseforskudt en kvart svingning i forhold til gyngens udsving, præcis som når man skubber til en gynge med hånden, mens den passerer bunden. Vend fortegnet, og personen bremser gyngen i stedet.

To koblede penduler

Holder personen musklerne i ro, $\psi_{\rm mål}=0$, er gynge og person to koblede penduler. Personen er et omvendt pendul, hvor tyngdepunktet sidder over sædet og holdes oppe af muskelstivheden $\kappa$. Linearisér ligningerne om ligevægten, og man får to normalsvingninger, $\mathsf K\mathbf u=\omega^2\mathsf M\mathbf u$, som vist i panelet:

Gyngesvingningen er langsom. Snorene og personen svinger næsten som ét stift pendul, og personen hælder kun lidt i forhold til snorene.

Kropssvingningen er hurtig. Personen vipper frem og tilbage om sædet, og snorene svinger en smule i modfase.

Personen driver den anden frihedsgrad, og koblingen overfører bevægelsen til den første. Det er et drevet svingningssystem med resonans ved gyngesvingningens frekvens. Vælg Rytmisk og prøv forskellige pumpefrekvenser: gyngen vokser kun for alvor, når pumpefrekvensen rammer gyngesvingningens frekvens, omkring 0,34 Hz for en 2,2 m lang gynge. Vælg Slap, sænk muskelstivheden, og tryk Skub til personen: nu udveksler de to penduler energi uden hjælp fra musklerne, ligesom på siden om koblede penduler.

Når man står op: parametrisk resonans

Står man op på gyngen, pumper man på en anden måde: man bøjer knæene ved vendepunkterne og retter sig op, når gyngen passerer bunden. Det løfter tyngdepunktet, netop når snorkraften er størst, og ændrer pendulets effektive længde to gange pr. svingning. Det er parametrisk resonans. Den virker kun, hvis gyngen allerede svinger lidt, og den giver en mere eksponentiel vækst. Siddende pumpning er derimod en drevet svingning: den kan starte fra hvile, og udsvinget vokser omtrent lineært i begyndelsen. Tryk Stands gyngen i simulationen og se, at den siddende person kan starte gyngen helt fra hvile.

Svingningstiden. Sæt dig på gyngen, få et skub og sid helt stille. Tag tid på 10 hele svingninger og sammenlign med $2\pi\sqrt{L/g}$, hvor $L$ er målt fra ophænget til din navle, omtrent dit tyngdepunkt.

Start fra hvile. Sid stille, uden at fødderne rører jorden. Læn dig tilbage og stræk benene, læn dig så frem og bøj benene, igen og igen. Find den rytme, hvor gyngen vokser hurtigst. Tag tid på den, og sammenlign med gyngens svingningstid.

Forkert fase. Når gyngen er godt i gang, så byt om: læn dig tilbage, mens du bevæger dig bagud. Gyngen bremses.

Stå op. Stå på sædet og prøv at pumpe ved at bøje knæene ved vendepunkterne og rette dig op i bunden. Pump to gange pr. svingning. Prøv at starte helt fra hvile: det er næsten umuligt.

Litteratur

• W. B. Case & M. A. Swanson, »The pumping of a swing from the seated position«, Am. J. Phys. 58, 463 (1990).
• W. B. Case, »The pumping of a swing from the standing position«, Am. J. Phys. 64, 215 (1996).
• S. M. Curry, »How children swing«, Am. J. Phys. 44, 924 (1976).
• S. Wirkus, R. Rand & A. Ruina, »How to pump a swing«, College Math. J. 29, 266 (1998).
• A. A. Post, G. de Groot, A. Daffertshofer & P. J. Beek, »Pumping a playground swing«, Motor Control 11, 136 (2007).