Koblede penduler

Modellen med fjedre

Pendul $i$ har massen $m_i$, længden $L_i$ og ophængningspunktet $(x_i^0,0)$. Alle svinger i samme lodrette plan, og kuglen sidder i $\mathbf r_i=\left(x_i^0+L_i\sin\theta_i,\,-L_i\cos\theta_i\right)$. Nabokuglerne er forbundet af fjedre med fjederkonstanten $k$. Hver fjeder har hvilelængden $d_i$, når pendulerne hænger lodret, så fjedrene er slappe i ligevægt. Så er

$$\mathcal L=\sum_i\left[\tfrac12 m_iL_i^2\dot\theta_i^2+m_igL_i\cos\theta_i\right]-\sum_i\tfrac12k\left(|\mathbf r_{i+1}-\mathbf r_i|-d_i\right)^2 .$$

Fjederkraften $\mathbf F$ på kugle $i$ indgår som den generaliserede kraft $Q_i=\mathbf F\cdot\partial\mathbf r_i/\partial\theta_i=L_i\left(F_x\cos\theta_i+F_y\sin\theta_i\right)$, og bevægelsesligningen er

$$m_iL_i^2\,\ddot\theta_i=-m_igL_i\sin\theta_i+Q_i-\gamma\,m_iL_i^2\,\dot\theta_i .$$

Små udsving og normalsvingninger

Ved små udsving bliver ligningerne lineære, $\mathsf M\ddot{\boldsymbol\theta}=-\mathsf K\boldsymbol\theta$, med $\mathsf M=\mathrm{diag}(m_iL_i^2)$ og

$$K_{ii}=m_igL_i+\sum_{\rm naboer}k_{\rm eff}L_i^2,\qquad K_{i,i\pm1}=-k_{\rm eff}L_iL_{i\pm1},\qquad k_{\rm eff}=k\cos^2\beta .$$

Her er $\beta$ fjederens hældning i hvile. Den er skrå, når nabopendulerne er forskellig lange, og så er det kun den vandrette del af strækningen, der tæller. En normalsvingning er en bevægelse, hvor alle penduler svinger med samme frekvens: $\boldsymbol\theta=\mathbf u\cos\omega t$ giver egenværdiproblemet

$$\mathsf K\mathbf u=\omega^2\,\mathsf M\mathbf u .$$

Siden løser det ved at diagonalisere den symmetriske matrix $\mathsf M^{-1/2}\mathsf K\mathsf M^{-1/2}$ med Jacobis metode. Søjlerne i tabellen er vektoren $\mathbf u$. Med $N$ penduler er der $N$ normalsvingninger, og enhver bevægelse ved små udsving er en sum af dem. Det er hele hemmeligheden: det, der ligner et kompliceret samspil, er blot $N$ uafhængige svingninger lagt oven i hinanden.

To ens penduler: energien vandrer

Med $m_1=m_2=m$, $L_1=L_2=L$, $\omega_0^2=g/L$ og $\kappa=k/m$ er

$$\ddot\theta_1=-\omega_0^2\theta_1-\kappa(\theta_1-\theta_2),\qquad \ddot\theta_2=-\omega_0^2\theta_2-\kappa(\theta_2-\theta_1).$$

Summen og differensen skiller ligningerne ad:

$$\omega_1=\omega_0\quad(\theta_1=\theta_2),\qquad \omega_2=\sqrt{\omega_0^2+2\kappa}\quad(\theta_1=-\theta_2).$$

I den første svingning er fjederen slap hele tiden, så pendulerne svinger, som om den ikke fandtes. I den anden trækker fjederen i begge, og svingningen er hurtigere. Skubbes kun det første pendul, $\theta_1(0)=\theta_0$, er de to svingninger lige kraftige, og summen er

$$\theta_1=\theta_0\cos\frac{\Delta\omega\,t}{2}\,\cos\bar\omega t,\qquad \theta_2=\theta_0\sin\frac{\Delta\omega\,t}{2}\,\sin\bar\omega t,$$

med $\bar\omega=(\omega_1+\omega_2)/2$ og $\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$. Begge penduler svinger med middelfrekvensen, mens amplituden langsomt flytter sig frem og tilbage. Energien har været helt ovre i pendul 2 og er tilbage i pendul 1 efter

$$T_{\rm udv}=\frac{2\pi}{\omega_2-\omega_1}\approx\frac{2\pi\,\omega_0}{\kappa}\qquad(\kappa\ll\omega_0^2).$$

Det er svævning, ligesom mellem to stemmegafler, der er næsten ens. Svag kobling giver langsom udveksling, men udvekslingen er stadig fuldstændig. Med startværdierne på siden (0,5 kg, 1 m og $k=0{,}8$ N/m) er $T_{\rm udv}\approx 13$ s.

Forskellige penduler

Forskellig længde: afstemningen afgør alt

Er længderne forskellige, er egenfrekvenserne $\omega_{01}=\sqrt{g/L_1}$ og $\omega_{02}=\sqrt{g/L_2}$ forskellige. For lige store masser og svag kobling kommer højst brøkdelen

$$\eta\approx\frac{4\kappa^2}{\left(\omega_{01}^2-\omega_{02}^2\right)^2+4\kappa^2}$$

af energien over i det andet pendul. Er forskellen i $\omega^2$ stor sammenlignet med koblingen, bliver det andet pendul næsten liggende stille. Formlen gælder for svag kobling, men viser tendensen også ved stærkere. Gør det andet pendul 30 cm længere med $k=0{,}8$ N/m: kun omkring halvdelen af energien når over, og udvekslingen går hurtigere. Skru $k$ ned til 0,2 N/m, og det andet pendul får under en tiendedel. Det er resonans i sin reneste form: energi flytter sig kun effektivt mellem svingere, der er afstemt til hinanden.

Forskellig masse: som et elastisk stød

Er længderne ens, men masserne forskellige, er afstemningen perfekt, for begge penduler har $\omega_0=\sqrt{g/L}$. Alligevel når ikke al energien over. Den langsomme svingning er stadig $\theta_1=\theta_2$, men i den hurtige står fælles tyngdepunkt stille: $m_1\theta_1=-m_2\theta_2$. Skubbes pendul 1, er den største brøkdel af energien, der når over i pendul 2,

$$\eta=\frac{4m_1m_2}{(m_1+m_2)^2}.$$

Det er præcis den brøk, et elastisk, centralt stød overfører fra en kugle til en anden, der ligger stille. En tung og en let kugle kan aldrig udveksle al energien, hverken ved et stød eller gennem en fjeder. Prøv 0,5 kg og 2 kg: $\eta=0{,}64$, og simulationen giver omkring 62 %.

Penduler på en udspændt snor

Det klassiske hjemmeforsøg har ingen fjedre. Pendulerne hænger fra hver sit punkt på en snor, der er spændt ud mellem to stole, og de svinger vinkelret på snoren. Koblingen går gennem snoren selv: når et pendul svinger ud, trækker det sit ophængningspunkt lidt med sig, og snoren giver trækket videre til naboerne.

Ligningerne

Lad $y_j$ være ophængningspunkternes sideudsving og $T$ snorens vandrette stramning. Et snorstykke med længden $a$ virker som en sidefjeder med stivheden $T/a$. Ophængningspunkterne er masseløse, så kræfterne på dem skal gå ud. Pendulsnoren trækker med tyngden $m_jg$ skråt ned mod kuglen, og ved små udsving er den vandrette del $m_jg\,\theta_j$:

$$\mathsf S\,\mathbf y=g\,\mathsf D\,\boldsymbol\theta,\qquad S_{jj}=\frac{T}{a_{j-1}}+\frac{T}{a_j},\quad S_{j,j\pm1}=-\frac{T}{a},\qquad \mathsf D=\mathrm{diag}(m_j).$$

Kuglen sidder i afstanden $y_j+L_j\theta_j$ ude til siden, og den eneste vandrette kraft på den er snorens træk $-m_jg\,\theta_j$. Altså er $m_j(\ddot y_j+L_j\ddot\theta_j)=-m_jg\theta_j$. Sætter man $\mathbf y$ ind, fås

$$\mathsf A\,\ddot{\boldsymbol\theta}=-g\,\boldsymbol\theta,\qquad \mathsf A=\mathrm{diag}(L_j)+g\,\mathsf S^{-1}\mathsf D .$$

Snoren gør altså pendulerne effektivt længere, og hvor meget afhænger af, hvordan de andre penduler svinger. Det er koblingen. Normalsvingningerne findes af det symmetriske problem $\mathsf{DA}\,\ddot{\boldsymbol\theta}=-g\,\mathsf D\boldsymbol\theta$.

To ens penduler: nedbøjningen er nøglen

Hænger to ens penduler med afstanden $a$ mellem sig og afstanden $a_0$ til stolene, er de to svingninger

$$\omega_1^2=\frac{g}{L+h}\quad(\text{i takt}),\qquad \omega_2^2=\frac{g}{L+h\,\dfrac{1/a_0}{1/a_0+2/a}}\quad(\text{i modtakt}),\qquad h=\frac{mg\,a_0}{T}.$$

Her er $h$ netop den lodrette nedbøjning, som pendulernes vægt giver snoren ved ophængningspunkterne, for de lodrette kræfter styres af den samme matrix $\mathsf S$. Når pendulerne svinger i takt, bliver de altså en nedbøjning længere. Når de svinger i modtakt, holder midterstykket dem på plads, og tillægget er mindre: en tredjedel af $h$, når $a=a_0$. Forskellen giver svævningen.

Det er en praktisk tommelfingerregel. Med 40 cm lange penduler og en snor, der bøjer 5 cm ned, er $T_{\rm udv}\approx 34$ s. Med 3 cm nedbøjning går der knap et minut. En stram snor giver langsom udveksling, og en slap snor en hurtig.

Forskellig masse spolerer afstemningen

Her er der en forskel fra fjederkoblingen. Et tungt pendul bøjer snoren mere ned og bliver derfor effektivt længere end et let pendul af samme længde. To ens lange penduler med forskellig masse er altså ikke længere afstemt, og udvekslingen bliver både ufuldstændig og hurtigere. Prøv det med en og tre møtrikker.

Mange penduler: en kæde og en bølgeleder

For $N$ ens penduler med frie ender er normalsvingningerne stående bølger:

$$u_j^{(n)}=\cos\frac{n\pi\left(j-\tfrac12\right)}{N},\qquad \omega_n^2=\frac gL+\frac{4k}{m}\sin^2\frac{n\pi}{2N},\qquad n=0,1,\dots,N-1 .$$

Tabellen nummererer dem fra 1 til $N$. Den første har alle penduler i takt, den sidste har nabopendulerne i modfase. Alle frekvenser ligger i et bånd mellem $\sqrt{g/L}$ og $\sqrt{g/L+4k/m}$. Med afstanden $a$ mellem pendulerne og bølgetallet $q=n\pi/(Na)$ er dispersionsrelationen

$$\omega^2=\omega_0^2+\frac{4k}{m}\sin^2\frac{qa}{2}.$$

Tyngden giver en nedre grænsefrekvens $\omega_0$. Under den kan ingen bølge udbrede sig langs kæden, og en svingning, der drives i den ene ende, dør eksponentielt ud. Det er samme matematik som i en bølgeleder med en grænsefrekvens. I kontinuumgrænsen bliver ligningen Klein–Gordon-ligningen $\ddot\theta=c^2\,\partial_x^2\theta-\omega_0^2\theta$ med $c^2=ka^2/m$.

Prøv det: tilføj penduler til der er otte, tryk Skub det første, og se i grafen, hvordan energien vandrer ned ad kæden som en bølgepakke og kastes tilbage fra enden.

Hvor koblede svingninger dukker op

Huygens' ure. I 1665 lå Christiaan Huygens syg og så, at to penduluré, der hang på samme bjælke, efter en halv times tid altid svang i modfase. Han skubbede til det ene, og de fandt sammen igen. Koblingen gik gennem bjælkens små bevægelser. Forsøget blev gentaget og forklaret i 2002.

Molekyler. CO₂ er tre masser koblet af to fjedre. Den symmetriske strækning, hvor carbonatomet står stille, er infrarødt-inaktiv. Den asymmetriske ved 2349 cm⁻¹ og bøjningen ved 667 cm⁻¹ absorberer infrarødt lys, og det er dem, der gør CO₂ til en drivhusgas.

Wilberforce-pendulet. Et lod i en spiralfjeder kan både hoppe op og ned og dreje om sig selv. Fjederens form kobler de to bevægelser, og er de afstemt, skifter loddet langsomt mellem at hoppe og at dreje, præcis som de to penduler.

Kvantemekanik. Formlen for $\eta$ ved forskellig længde er den samme som Rabis formel for et system med to tilstande, og den samme matematik styrer ammoniakmolekylets tunnelering og neutrinoers oscillationer mellem slagsene.

Et pendul på jordens størrelse. I inertinavigation svinger positionsfejlen som et pendul med jordens radius som længde og perioden 84,4 minutter. Se Schuler-pendulet på siden om gyroskopet.

Det skal du bruge

To stole med ryglæn, 2–3 meter tynd, glat snor (køkkengarn, mursnor eller fiskeline), 6–12 ens møtrikker, en saks, et målebånd og et stopur, fx i telefonen. Møtrikker på M10–M16 er gode, fordi de er tunge nok til at trække snoren lige og små nok til ikke at blive fanget af luften. En M12-møtrik vejer omkring 16 g, men vej dem gerne på en køkkenvægt.

Sådan gør du

1. Spænd snoren ud. Stil stolene med ryggen mod hinanden, ca. 1 m fra hinanden. Bind snoren fast om begge ryglæn i samme højde, så den er let stram. Du justerer stramningen senere ved at skubbe stolene lidt fra eller mod hinanden.
2. Lav to penduler. Klip to stykker snor på ca. 60 cm. Træk hvert stykke gennem tre møtrikker og bind en dobbeltknude, så møtrikkerne sidder som et lille lod i enden.
3. Hæng dem op. Bind pendulerne på den udspændte snor ca. 30 cm fra hinanden og ca. 30 cm fra hver stol. Et halvstik, der kan skubbes, gør det let at rette længden til bagefter.
4. Gør dem lige lange. Mål fra den udspændte snor til midten af møtrikkerne, og ret til, til begge penduler er præcis lige lange, fx 40 cm. Det er det vigtigste trin: en forskel på en halv centimeter kan ses.
5. Se efter nedbøjningen. Snoren skal bøje en smule ned ved pendulerne, et par centimeter. Er den helt stram, sker udvekslingen meget langsomt. Hænger den meget, sker den hurtigt, men pendulerne begynder let at slingre.
6. Start forsøget. Hold det ene pendul stille, og træk det andet 5–10 cm ud, vinkelret på den udspændte snor. Slip det forsigtigt, og slip så også det første uden at skubbe til det.

Efter nogle sving begynder det stille pendul at bevæge sig. Efter et halvt til et helt minut står det første pendul næsten stille, og det andet svinger fuldt ud. Så går bevægelsen tilbage igen.

Forsøg du kan lave

Pendulets periode. Tag tid på 10 hele sving af ét pendul, mens det andet holdes stille, og del med 10. Sammenlign med $2\pi\sqrt{L/g}$. For 40 cm er det 1,27 s.

Udvekslingsperioden. Tag tid fra det øjeblik, det første pendul står stille, til det står stille næste gang. Det er $T_{\rm udv}$. Gentag et par gange og tag gennemsnittet.

De to normalsvingninger. Træk begge penduler lige langt ud til samme side og slip dem samtidigt. Nu er der ingen udveksling, for de svinger i den første normalsvingning. Træk dem så ud til hver sin side: den anden normalsvingning, som er en anelse hurtigere. Tag tid på 20 sving af hver, $T_1$ og $T_2$, og beregn

$$T_{\rm udv}=\frac{T_1T_2}{T_1-T_2}.$$

Sammenlign med den tid, du målte direkte. Periodeforskellen er lille, så tag tid på mange sving.

Stramningen. Skub stolene lidt længere fra hinanden, så snoren bliver strammere og nedbøjningen mindre. Udvekslingen bliver langsommere. Løsn den, og den bliver hurtigere.

Afstemningen. Gør det ene pendul 3–5 cm kortere. Nu når kun en del af bevægelsen over, og det første pendul går aldrig helt i stå.

Massen. Gør pendulerne lige lange igen, men giv det ene én møtrik og det andet tre. Udvekslingen bliver igen ufuldstændig. På snoren skyldes det, at det tunge pendul bøjer snoren mere og bliver effektivt længere.

Kæden. Hæng tre, fire eller flere ens penduler op med samme afstand, og skub til det yderste. Se bevægelsen vandre ned ad rækken og tilbage.

Måleskema

Gode råd

Begynder møtrikkerne at dreje rundt eller svinge i ellipser, så start med et mindre udsving og slip mere forsigtigt. Vil du have pendulerne til at holde sig i ét plan, kan hvert lod hænge i to snore, der samles i et V fra to punkter på den udspændte snor. Brug en glat snor: en snor, der snor sig op, drejer loddet. Og hold dørene lukkede, for selv et lille træk forstyrrer.

Litteratur

• A. P. French, Vibrations and Waves, Norton (1971), kap. 5.
• H. Goldstein, C. Poole & J. Safko, Classical Mechanics, 3. udg., Addison-Wesley (2002), kap. 6.
• C. Huygens, Horologium Oscillatorium, Paris (1673).
• M. Bennett, M. F. Schatz, H. Rockwood & K. Wiesenfeld, »Huygens's clocks«, Proc. R. Soc. Lond. A 458, 563 (2002).
• R. E. Berg & T. S. Marshall, »Wilberforce pendulum oscillations and normal modes«, Am. J. Phys. 59, 32 (1991).