Gyroskopet og tippetoppen

Fotografiet er et af de mest gengivne i fysikkens historie. To af det 20. århundredes største fysikere står foroverbøjet med hænderne på knæene og betragter et stykke legetøj med samme koncentration, som de ellers viede kvantemekanikken.

Legetøjet blev patenteret allerede i 1891 af Helene Sperl i München, men patentet udløb året efter. Ingeniøren Werner Østberg genopfandt det i 1950 efter en rejse i Sydamerika, hvor han havde set folk snurre en lille rund frugt ved stilken. Frugten vendte sig om og snurrede videre på stilken. Østberg kaldte sin top »tippetop«, masseproducerede den og tog patent i flere lande. I løbet af få år blev den solgt over hele verden, i Canada til 25 cent på apoteket og i USA i morgenmadspakker.

Bohr var begejstret. Ifølge Politiken den 1. juni 1951 viste han toppen for den svenske konge ved indvielsen i Lund. Gåden blev diskuteret i dagspressen, og i 1952 kom de første teoretiske artikler, blandt andet af C. M. Braams og N. M. Hugenholtz i Physica. J. L. Synge mente først, at friktionen var uden betydning, men blev overbevist af de andre. For friktionen er hele nøglen, som simulationen ovenfor og teorien nedenfor viser.

Gyroskopet

Vektorbilledet

Roterer rotoren hurtigt, er $\mathbf L\approx I_3\omega_3\,\hat{\mathbf e}_3$. Tyngdekraftens moment om støttepunktet er $\boldsymbol\tau = l\,\hat{\mathbf e}_3\times(-Mg\,\hat{\mathbf z})$. Det er vandret og vinkelret på $\mathbf L$, så kun retningen ændres:

$$\dot{\hat{\mathbf e}}_3=\boldsymbol\Omega\times\hat{\mathbf e}_3,\qquad \Omega=\frac{Mgl}{I_3\,\omega_3}.$$

Jo hurtigere rotoren snurrer, jo langsommere præcesserer aksen. Det er den orange og den blå vektor i simulationen: $\boldsymbol\tau$ peger hele tiden dér, hvor $\mathbf L$ er på vej hen.

Lagrange-funktionen og de bevarede størrelser

Med Euler-vinklerne $\theta$ (hældning), $\phi$ (præcession) og $\psi$ (egenrotation) er

$$\mathcal L=\tfrac12 I_1\left(\dot\theta^2+\dot\phi^2\sin^2\theta\right)+\tfrac12 I_3\left(\dot\psi+\dot\phi\cos\theta\right)^2-Mgl\cos\theta .$$

$\phi$ og $\psi$ er cykliske, så to impulsmomenter er bevaret sammen med energien:

$$L_3=I_3\left(\dot\psi+\dot\phi\cos\theta\right)=I_3\omega_3,\qquad L_z=I_1\dot\phi\sin^2\theta+L_3\cos\theta .$$

Stationær præcession

Lagrange-ligningen for $\theta$ er $I_1\ddot\theta=I_1\dot\phi^2\sin\theta\cos\theta-L_3\dot\phi\sin\theta+Mgl\sin\theta$. Med $\ddot\theta=\dot\theta=0$ fås en andengradsligning i $\dot\phi$:

$$I_1\cos\theta\,\dot\phi^2-L_3\dot\phi+Mgl=0\quad\Longrightarrow\quad \dot\phi=\frac{2Mgl}{L_3\pm\sqrt{L_3^2-4I_1Mgl\cos\theta}}.$$

For en hurtig top giver plus-tegnet den langsomme gren $\dot\phi\approx Mgl/(I_3\omega_3)$, og minus-tegnet den hurtige $\dot\phi\approx I_3\omega_3/(I_1\cos\theta)$. Knappen Stationær præcession starter gyroskopet præcis på den langsomme gren.

Nutation: hvorfor aksen slår buer, når den slippes fra hvile

Eliminér $\dot\phi$ og $\dot\psi$ med de bevarede størrelser. Så bliver $\theta$-bevægelsen endimensional i et effektivt potential:

$$E'=\tfrac12 I_1\dot\theta^2+\frac{\left(L_z-L_3\cos\theta\right)^2}{2I_1\sin^2\theta}+Mgl\cos\theta .$$

$\theta$ svinger mellem to vendepunkter. Slippes aksen fra hvile, er $\dot\phi=0$ i det øverste vendepunkt, og sporet får spidse hjørner (cykloide-agtige buer). Nutationsfrekvensen er for en hurtig top omtrent $I_3\omega_3/I_1$, og amplituden aftager som $1/\omega_3^2$. Skru op for omdrejningstallet i simulationen og se buerne skrumpe.

Friktion i lejet: hvorfor gyroskopet til sidst synker

Et moment langs aksen, $\dot L_3=-kL_3$, formindsker $L_3$. Da præcessionen går som $1/L_3$, bliver den hurtigere og hurtigere, og aksen synker. I simulationen stopper gyroskopet, når rotoren rammer tårnet.

Tippetoppen

Geometri

Kuglen har radius $R$ og centrum $O$. Massemidtpunktet $C$ ligger $\alpha R$ fra $O$ langs symmetriaksen, og $\hat{\mathbf e}_3$ peger fra $C$ mod skaftet. $\theta=0$ er toppen på kuglen, $\theta=\pi$ på skaftet. Kontaktpunktet $P$ ligger altid lodret under $O$, så

$$\mathbf a=\overrightarrow{CP}=R\left(\alpha\hat{\mathbf e}_3-\hat{\mathbf z}\right),\qquad z_C=R\left(1-\alpha\cos\theta\right).$$

Ved fuld vending løftes massemidtpunktet $2\alpha R$.

Bevægelsesligninger og energitab

Bordets kraft $\mathbf F=N\hat{\mathbf z}+\mathbf F_f$ angriber i $P$:

$$M\dot{\mathbf v}_C=\mathbf F-Mg\hat{\mathbf z},\qquad \dot{\mathbf L}=\mathbf a\times\mathbf F,\qquad \mathbf F_f=-\mu N\frac{\mathbf v_P}{|\mathbf v_P|}.$$

Glidningshastigheden $\mathbf v_P=\mathbf v_C+\boldsymbol\omega\times\mathbf a$ er vandret, så normalkraften udfører intet arbejde, og $\dot E=\mathbf F_f\cdot\mathbf v_P\le 0$. Simulationen løser netop disse ligninger, med normalkraften bestemt af kravet om, at kuglen bliver på bordet.

Jelletts konstant

Sæt $J=\mathbf L\cdot\mathbf a$. Så er $\dot J=(\mathbf a\times\mathbf F)\cdot\mathbf a+\mathbf L\cdot\dot{\mathbf a}$. Første led er nul. Med $\dot{\mathbf a}=\alpha R\,\boldsymbol\omega\times\hat{\mathbf e}_3$ og $\mathbf L=I_1\boldsymbol\omega+(I_3-I_1)\omega_3\hat{\mathbf e}_3$ indeholder begge tredobbelte produkter to ens vektorer:

$$\dot J=\alpha R\left[I_1\,\boldsymbol\omega\cdot(\boldsymbol\omega\times\hat{\mathbf e}_3)+(I_3-I_1)\,\omega_3\,\hat{\mathbf e}_3\cdot(\boldsymbol\omega\times\hat{\mathbf e}_3)\right]=0 .$$

Altså er $J=R(\alpha L_3-L_z)$ bevaret eksakt, uanset friktionsloven. Det er den grønne, flade linje i grafen ovenfor.

Slutspin og energitærskel

Start med $\omega_0$ ved $\theta=0$ og slut med $\omega_1$ ved $\theta=\pi$. Bevarelsen af $J$ giver

$$I_3\omega_0(\alpha-1)=-I_3\omega_1(1+\alpha)\quad\Longrightarrow\quad \omega_1=\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\,\omega_0 .$$

Set fra bordet snurrer toppen samme vej, men i forhold til legemet er rotationen vendt. Da friktionen kun kan fjerne energi, kræver vendingen $E_1\le E_0$, og med $1-\left(\frac{1-\alpha}{1+\alpha}\right)^2=\frac{4\alpha}{(1+\alpha)^2}$ reduceres det til

$$\omega_0^2\ge\frac{MgR\,(1+\alpha)^2}{I_3}.$$

Stabilitet: energilandskabet

Ved hurtig rotation dominerer rotationsenergien. Minimér $\tfrac12\mathbf L\cdot I^{-1}\mathbf L$ under bibetingelsen $\mathbf L\cdot\mathbf a=J$. Lagrange-multiplikatoren giver $\boldsymbol\omega=\lambda\mathbf a$: toppen roterer om linjen $CP$, og kontaktpunktet glider ikke. Energien er da

$$E_{\rm rot,min}(\theta)=\frac{J^2}{2R^2f(\theta)},\qquad f(\theta)=I_1\sin^2\theta+I_3(\alpha-\cos\theta)^2,$$ $$f'(\theta)=2\sin\theta\left[(I_1-I_3)\cos\theta+\alpha I_3\right].$$

Den oprejste tilstand er et energiminimum, netop når $I_1/I_3 \lt 1-\alpha$. Den vendte tilstand er et minimum, netop når $I_1/I_3 \lt 1+\alpha$. Toppen vender derfor, når

$$1-\alpha \lt \frac{I_1}{I_3} \lt 1+\alpha .$$

For $I_1/I_3 \gt 1+\alpha$ ender den i en skrå, præcesserende tilstand med $\cos\theta^*=\alpha I_3/(I_3-I_1)$. Friktionen trækker energi ud ved fast $J$, og toppen ruller ned ad landskabet, præcis som prikken i grafen viser.

Det kogte æg: samme fysik som tippetoppen

Det kogte æg er et stift legeme, der glider på bordet, præcis som tippetoppen. Kontaktpunktet glider, friktionen fjerner energi, og størrelsen $J=\mathbf L\cdot\mathbf a$ er tilnærmelsesvis bevaret. For en kugle er den bevaret eksakt, for et æg kun tilnærmelsesvis. Keith Moffatt og Yutaka Shimomura gav i 2002 den fulde forklaring på, hvordan ægget rejser sig i en langsom »gyroskopisk balance«.

Tænk på ægget som en aflang omdrejningsellipsoide med halvakserne $a>b$ og inertimomenterne $I_1=\tfrac15M(a^2+b^2)$ om en tværakse og $I_3=\tfrac25Mb^2$ om længdeaksen. Liggende er $|\mathbf a|=b$, stående er $|\mathbf a|=a$. Ved fast $J$ er $L=J/|\mathbf a|$, så

$$E_{\text{ligger}}=\frac{J^2}{2I_1b^2},\qquad E_{\text{står}}=\frac{J^2}{2I_3a^2},\qquad \frac{E_{\text{står}}}{E_{\text{ligger}}}=\frac{a^2+b^2}{2a^2}<1 .$$

Det stående æg har lavere rotationsenergi, og friktionen fører det derhen. Til gengæld løftes tyngdepunktet $a-b$. Med $a=3$ cm og $b=2{,}2$ cm er energiforholdet 0,77, og kravet $(1-0{,}77)\tfrac12I_1\omega^2\ge Mg(a-b)$ giver $\omega\gtrsim50$ rad/s, omkring 8 omdrejninger i sekundet.

Hvilken ende står det på?

Et rigtigt æg har en bred og en spids ende, og massemidtpunktet ligger nærmest den brede. Ægget kan rejse sig på begge ender. Kenzo Sasaki viste i 2004, at det afhænger af æggets form og af, hvordan det hælder fra start: der findes en kritisk vinkel, og ligger startvinklen på den ene side af den, rejser ægget sig på den spidse ende, ellers på den brede. Ifølge Sasaki ender ægget oftest på den brede ende, men det kan også stå på den spidse ende med den brede opad, og så ligner det tippetoppen, der ender med massemidtpunktet så højt som muligt. Prøv selv med flere æg. I simulationen vælger du selv med starthældningen $\theta_0$.

Det rå æg: væsken halter efter

I et råt æg er kun skallen stiv. Hvide og blomme er en væske, der kun kobles til skallen gennem viskositeten. Regnes skallen som en tynd kugleskal med en tiendedel af massen og indholdet som en massiv kugle, er $I_{\text{skal}}/I_{\text{væske}}=\tfrac23m_{\text{skal}}r^2\big/\tfrac25m_{\text{væske}}r^2\approx0{,}19$.

Vrider man ægget i gang, får skallen vinkelhastigheden $\omega_0$, mens væsken står stille. Snart deler de impulsmomentet og ender med

$$\omega=\frac{I_{\text{skal}}}{I_{\text{skal}}+I_{\text{væske}}}\,\omega_0\approx0{,}16\,\omega_0 .$$

Det rå æg snurrer kun med en sjettedel af farten, og 84 % af energien er gået til viskøs friktion i væsken. Det når aldrig de 8 omdrejninger i sekundet, og væsken ville i øvrigt ikke følge med som et stift legeme, hvis ægget begyndte at vippe.

Stopper man skallen med en finger, bremser man kun skallen. Væsken fortsætter, som Newtons første lov kræver, og når man slipper, giver den sit impulsmoment tilbage: ægget drejer igen med omkring $0{,}84\,\omega_{\text{væske}}$. Et kogt æg har ingen skjult rotation og bliver liggende. Det er den klassiske måde at skelne et kogt æg fra et råt uden at slå det i stykker.

Princippet: integrér to gange

Kender man startpunktet og startfarten, giver accelerationen resten: $\mathbf v(t)=\mathbf v_0+\int_0^t\mathbf a\,dt$ og $\mathbf r(t)=\mathbf r_0+\int_0^t\mathbf v\,dt$. Det lyder enkelt, men to ting gør det svært.

For det første måler et accelerometer ikke accelerationen $\mathbf a$. Det måler den specifikke kraft $\mathbf f=\mathbf a-\mathbf g$, altså kraften pr. masse fra alt andet end tyngden. Et accelerometer, der ligger stille på bordet, viser $9{,}82\ \mathrm{m/s^2}$ opad, og et i frit fald viser nul. Navigationscomputeren må selv lægge tyngden til igen:

$$\ddot{\mathbf r}=\mathbf f+\mathbf g(\mathbf r).$$

For det andet er $\mathbf f$ målt langs instrumentets egne akser, og man skal vide præcist, hvordan de står i forhold til lodret og nord. Hælder instrumentet en lille vinkel $\delta$, læses en del af tyngden, $g\,\delta$, som en vandret acceleration. En fejl på én milliradian (0,06°) giver $0{,}01\ \mathrm{m/s^2}$, og efter en time er positionen skudt $\tfrac12\cdot 0{,}0098\cdot 3600^2\approx 64$ km forbi.

Retningen er gyroskopets opgave. Uden kraftmoment er $\dot{\mathbf L}=\mathbf 0$, så en hurtig rotor fastholder sin akse i forhold til fixstjernerne, uanset hvordan fartøjet drejer omkring den. Det er det samme $\dot{\mathbf L}=\boldsymbol\tau$ som i simulationen øverst, blot med $\boldsymbol\tau$ gjort så lille som overhovedet muligt. Lejefriktionen, som får gyroskopet ovenfor til at synke, er netop den slags fejl, konstruktørerne har kæmpet imod i hundrede år.

På den roterende jord kommer to fiktive led med. I et jordfast system med jordens vinkelhastighed $\boldsymbol\Omega_\oplus$ er

$$\ddot{\mathbf r}=\mathbf f-2\boldsymbol\Omega_\oplus\times\dot{\mathbf r}+\mathbf g_{\rm eff}(\mathbf r),$$

hvor $\mathbf g_{\rm eff}$ indeholder centrifugalleddet. Coriolis-leddet er det samme, som drejer Foucaults pendul.

To konstruktioner: stabil platform og strapdown

Den kardanophængte platform

I de klassiske systemer sidder tre gyroskoper og tre accelerometre på en lille platform, der hænger i kardanringe. Når fartøjet drejer, mærker gyroskoperne det, og servomotorer drejer ringene tilbage, så platformen bliver ved med at ligge vandret og pege mod nord. Accelerometrene måler så direkte mod nord, mod øst og lodret, og computeren skal kun integrere.

Tre ringe har en svaghed: kardanlås. Når den midterste ring har drejet 90°, falder den inderste og den yderste akse sammen, og én frihedsgrad forsvinder. Det er den samme singularitet, som ses i gyroskopets ligninger ovenfor, hvor $\sin^2\theta$ står i nævneren i ligningen for $\ddot\phi$: Euler-vinkler kan ikke beskrive alle orienteringer glat. Apollo-rumskibenes platform havde kun tre ringe, og astronauterne måtte styre uden om de farlige orienteringer. Michael Collins bad under Apollo 11 spøgefuldt om at få en fjerde kardanring til jul.

Strapdown

I moderne systemer er sensorerne skruet fast på fartøjet. Gyroskoperne måler vinkelhastigheden $\boldsymbol\omega$ i fartøjets egne akser, og computeren holder regnskab med orienteringen, typisk som en kvaternion $q$:

$$\dot q=\tfrac12\,q\otimes(0,\boldsymbol\omega).$$

Accelerometrenes målinger drejes derefter over i et nord–øst–ned-system med $q$, før der integreres. Kvaternioner har ingen singularitet, så kardanlåsen forsvinder. Til gengæld skal computeren regne hundreder af gange i sekundet, og sensorerne skal kunne følge fartøjets hurtigste drejninger. Derfor slog strapdown først igennem i 1980'erne, da regnekraften og en ny slags gyroskop var på plads.

Gyroskoper uden snurretop

Ringlaseren og Sagnac-effekten

To laserstråler løber hver sin vej rundt i en lukket lysvej. Står instrumentet stille, er de to veje lige lange. Drejer det med vinkelhastigheden $\Omega$ om en akse vinkelret på lysvejen, bliver vejen med omløbsretningen længere og vejen imod den kortere. I en ringlaser giver det en frekvensforskel

$$\Delta f=\frac{4A}{\lambda P}\,\Omega ,$$

hvor $A$ er det omsluttede areal og $P$ omkredsen. Et trekantet hulrum med sider på 10 cm og en helium-neon-laser ($\lambda=633$ nm) giver ved jordens rotation, $7{,}29\cdot10^{-5}$ rad/s, en forskel på omkring 7 Hz mellem to frekvenser på $4{,}7\cdot10^{14}$ Hz. Ved meget langsom drejning låser de to bølger sig til hinanden. Det løses ved at ryste hele blokken en smule frem og tilbage. Ringlaserens store fordel er, at intet roterer og intet slides.

Fiberoptiske og vibrerende gyroskoper

Det fiberoptiske gyroskop sender lyset mange gange rundt i en spole af optisk fiber. Faseforskellen er $\Delta\varphi=8\pi NA\,\Omega/(\lambda c)$ for $N$ vindinger, så en lang fiber giver stor følsomhed.

Gyroskopet i en mobiltelefon er en MEMS-struktur: en lille siliciummasse, der vibrerer frem og tilbage med hastigheden $\mathbf v$. Drejes chippen, virker Coriolis-kraften $-2m\,\boldsymbol\Omega\times\mathbf v$ vinkelret på vibrationen og sætter en anden svingning i gang, som måles kapacitivt. Det er to koblede svingninger, hvor drejningen er koblingen. Et beslægtet princip bruges i de meget præcise halvkugleresonatorer: G. H. Bryan bemærkede i 1890, at svingningsmønsteret i et klingende glas, der drejes, ikke drejer helt med glasset.

Schuler: et pendul så langt som jordens radius

En platform, der skal holdes vandret på en kugle, kan ikke bare holdes fast i inertialrummet. Når fartøjet flytter sig stykket $x$ mod nord, har lodlinjen drejet vinklen $x/R$. Platformen skal derfor drejes med vinkelhastigheden $v/R$, beregnet ud fra den fart, systemet selv har regnet sig frem til.

Max Schuler, fætter til gyrokompassets opfinder Hermann Anschütz-Kaempfe, viste i 1923, at det gør systemet selvkorrigerende. Er den beregnede fart for stor, drejes platformen for meget og kommer til at hælde. Så læses en del af tyngden som en opbremsning, der trækker fartfejlen tilbage. Med hældningsfejlen $\psi$, fartfejlen $\delta v$, en konstant accelerometerfejl $b$ og en konstant gyroskopdrift $\varepsilon$ er

$$\delta\dot v=-g\,\psi+b,\qquad \dot\psi=\frac{\delta v}{R}+\varepsilon\qquad\Longrightarrow\qquad \delta\ddot x=-\frac gR\,\delta x+b-g\,\varepsilon\,t .$$

Venstresiden og første led til højre er ligningen for et pendul med længden $R$. Svingningstiden er

$$T_S=2\pi\sqrt{\frac Rg}=84{,}4\ \text{min},$$

samme omløbstid som en satellit, der kredser lige over jordoverfladen. Fra start i hvile er løsningerne

$$\delta x_b=\frac{bR}{g}\left(1-\cos\omega_S t\right),\qquad \delta x_\varepsilon=-R\,\varepsilon\left(t-\frac{\sin\omega_S t}{\omega_S}\right),\qquad \omega_S=\sqrt{g/R}.$$

En accelerometerfejl giver kun en begrænset svingning. En fejl på 100 µg ($10^{-4}g$) får positionen til at svinge mellem 0 og 1,3 km. Uden Schuler-afstemning ville samme fejl give $\tfrac12bt^2$: 6,4 km efter en time og 230 km efter seks. Gyroskopdriften er værre, for den giver en fejl, der vokser jævnt med tiden. En drift på 0,01°/h giver $R\varepsilon\approx 1{,}1$ km/h, eller omtrent 0,6 sømil i timen. Derfor opgives navigationssystemers nøjagtighed netop i sømil pr. time.

Den lodrette retning har ingen sådan redning. Tyngden aftager med højden, så en for stor beregnet højde giver en for lille beregnet tyngde, og fejlen vokser: $\delta\ddot h=+(2g/R)\,\delta h$, med tidskonstanten $\sqrt{R/2g}\approx 9{,}5$ min. Højden støttes derfor altid af en barometrisk højdemåler.

Fra Foucault til mobiltelefonen

Léon Foucault gav i 1852 gyroskopet navn: han ville se drejningen af jorden med en rotor, der holdt sin retning, mens laboratoriet drejede under den. Hermann Anschütz-Kaempfe byggede i 1908 det første brugbare gyrokompas, fordi han ville sejle ubåd til Nordpolen, og Schulers analyse fra 1923 gjorde det til et navigationsinstrument, der tålte skibets bevægelser.

V2-raketten fra 1944 holdt retningen med gyroskoper og slukkede motoren, når et integrerende accelerometer havde talt sig frem til den rigtige fart. I 1953 fløj Charles Stark Draper fra MIT et fly fra Massachusetts til Los Angeles med et inertialsystem og uden navigatør. I 1958 sejlede ubåden USS Nautilus under Nordpolen med et inertialsystem om bord. Her var begge de gamle kompasser ubrugelige: magnetkompasset, fordi feltlinjerne står næsten lodret så langt mod nord, og gyrokompasset, fordi jordens rotationsakse står lodret ved polen, så der ikke er nogen vandret komponent at søge ind mod.

I dag sidder ringlasergyroskoper i strapdown-systemer i alle store passagerfly, og MEMS-gyroskoper i telefoner, biler og droner. Satellitnavigation og inertinavigation supplerer hinanden, typisk koblet i et Kalman-filter: satellitterne holder driften nede over lang tid, og inertialsystemet dækker de sekunder og minutter, hvor signalet mangler. Et inertialsystem kan hverken skygges eller forstyrres udefra, og det er igen blevet aktuelt, efter at GPS-forstyrrelser i de senere år har ramt flytrafikken over Østersøen.

Positionsfejlens svingning med perioden 84,4 minutter er et pendul uden kobling. Svingninger, der udveksler energi med hinanden, er emnet på siden om koblede penduler.

Hele udledningen med figurer findes som rapport:

Litteratur

• H. Goldstein, C. Poole & J. Safko, Classical Mechanics, 3. udg., Addison-Wesley (2002), kap. 5.
• J. H. Jellett, A Treatise on the Theory of Friction, Dublin (1872).
• C. M. Braams, »On the influence of friction on the motion of a top«, Physica 18, 503 (1952).
• N. M. Hugenholtz, »On tops rising by friction«, Physica 18, 515 (1952).
• R. J. Cohen, »The tippe top revisited«, Am. J. Phys. 45, 12 (1977).
• S. Ebenfeld & F. Scheck, »A new analysis of the tippe top«, Ann. Phys. 243, 195 (1995).
• N. M. Bou-Rabee, J. E. Marsden & L. A. Romero, »Tippe top inversion as a dissipation-induced instability«, SIAM J. Appl. Dyn. Syst. 3, 352 (2004).
• H. K. Moffatt & Y. Shimomura, »Spinning eggs – a paradox resolved«, Nature 416, 385 (2002).
• K. Sasaki, »Spinning eggs – which end will rise?«, Am. J. Phys. 72, 775 (2004).
• M. Schuler, »Die Störung von Pendel- und Kreiselapparaten durch die Beschleunigung des Fahrzeuges«, Physikalische Zeitschrift 24, 344 (1923).
• G. Sagnac, »L'éther lumineux démontré par l'effet du vent relatif d'éther dans un interféromètre en rotation uniforme«, C. R. Acad. Sci. 157, 708 (1913).
• D. H. Titterton & J. L. Weston, Strapdown Inertial Navigation Technology, 2. udg., IET (2004).
• D. MacKenzie, Inventing Accuracy: A Historical Sociology of Nuclear Missile Guidance, MIT Press (1990).